第十六讲 期末复习-邦国教育2020高考数学总复习专练(无答案)

第十六讲 期末复习 知识点一：正余弦定理 知识点梳理 （一）正弦定理：（其中R表示三角形的外接圆半径） 适用情况：（1）已知两角和一边，求其他边或其他角； （2）已知两边和对角，求其他边或其他角。 变形：① ，， ②，， ③ = ④ （二）余弦定理：=（求边），cosB=（求角） 适用情况：（1）已知三边，求角；（2）已知两边和一角，求其他边或其他角。 （三）三角形的面积：①；②； ③； ④； ⑤；⑥（其中，r为内切圆半径） （四）三角形内切圆的半径：，特别地， （五）△ABC射影定理：，… （六）三角边角关系： （1）在中，；； ； （2）边关系：a + b > c，b + c > a，c + a > b，a－b < c，b－c < a，c－a > b； （3）大边对大角： 考点剖析 （一）考查正弦定理与余弦定理的混合使用 例1、在△ABC中，已知Ａ＞Ｂ＞Ｃ,且Ａ=2Ｃ, ,求的长. 例1、解：由正弦定理，得 ∵Ａ＝２Ｃ ∴ ∴ 又　∴　　　　　　　 ① 由余弦定理，得 　　　　　　　② 入②，得　∴ 例2、如图所示，在等边三角形中，为三角形的中心，过的直线交于，交于，求的最大值和最小值． 例2、【解】由于为正三角形的中心，∴， ，设，则， 在中，由正弦定理得：， ∴，在中，由正弦定理得：， ∴， ∵，∴，故当时取得最大值， 所以，当时，此时取得最小值．[来源:Z_xx_k.Com] 变式1、在△ABC中，角A、B、C对边分别为，已知， （１）求∠Ａ的大小； （２）求的值 变式1、解（１）∵∴ 在△ABC中，由余弦定理得 ∴∠Ａ＝ （２）在△ABC中，由正弦定理得 ∵ ∴ 变式2、在中，为锐角，角所对的边分别为，且[来源:学科网] （I）求的值； （II）若，求的值。 变式2、解（I）∵为锐角， ∴ ∵ ∴ （II）由（I）知，∴ 由得，即 又∵ ∴ ∴ ∴ （二）考查正弦定理与余弦定理在向量与面积上的运用 例3、如图，半圆O的直径为2，A为直径延长线上的一点，OA=2，B为半圆上任意一点，以AB为一边作等边三角形ABC。问：点B在什么位置时，四边形OACB面积最大？ 例3、解：设，在△AOB中，由余弦定理得： 于是，四边形OACB的面积为 S=S△AOB+ S△ABC 因为，所以当，，即时， 四边形OACB面积最大． 例4、在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c， ． （1）求角C的大小； （2）求△ABC的面积． 例4、解：（1）由 ∴ 4cos2C－4cosC＋１＝０ 解得　 ∵0°＜C＜180°,∴C=60° ∴ C＝60° （2）由余弦定理得c2＝a2＋b2－2ab cos C 即 7＝a2＋b2－ab ① 又a＋b＝5 ∴a2＋b2＋2ab＝25 ② 由①②得ab＝6 ∴ S△ABC＝ 变式3、已知向量，，且，其中是△ABC的内角，分别是角的对边. (1) 求角的大小； （2）求的取值范围. 变式3、解：（1）由得 由余弦定理得 ∵ 　　∴ (2)∵ 　　　 ∴ ∴= ∵ ∴ ∴ 　 ∴ 即. （三）考查三角形形状的判断 例5、在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c, b=acosC,且△ABC的最大边长为12，最小角的正弦值为。 （1） 判断△ABC的形状； （2） 求△ABC的面积。 例5、解：（1） b=acosC，由正弦定理，得sinB=sinAcosC, （#） B=, sinB=sin(A+C),从而（#）式变为sin(A+C)= sinAcosC， cosAsinC=0,又A，CcosA=0，A=，△ABC是直角三角形。 （2）△ABC的最大边长为12，由（1）知斜边=12，又△ABC最小角的正弦值为，Rt△ABC的最短直角边为12=4，另一条直角边为 S△ABC==16 变式4、在△ABC中，若. (1)判断△ABC的形状； (2)在上述△ABC中，若角C的对边，求该三角形内切圆半径的取值范围。 变式4、解：（1）由 可得 即C＝90° △ABC是以C为直角顶点得直角三角形 （2）内切圆半径