1.4.1 柱坐标系（课件+课时训练）-2019-2020学年高中数学选修4-4【高考领航】一线课堂高中同步核心辅导（人教A版）

第四节　柱坐标系与球坐标系简介 第一课时　柱坐标系 [课标领航]　1．了解柱坐标系刻画空间中点的位置的方法．　2．体会柱坐标系与空间直角坐标系中刻画点的位置的区别． 3．了解柱坐标在日常生活中的应用． 柱坐标系 (1)定义：建立空间直角坐标系O­xyz，设P是空间任意一点，它在Oxy平面上的射影为Q，用(ρ，θ)(ρ≥0，0≤θ＜2π)来表示点Q在平面xOy上的极坐标，这时点P的位置可用序数组________(z∈R)表示，这样，我们建立了空间的点与有序数组(ρ，θ，z)之间的一种对应关系，把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系，有序数组(ρ，θ，z)叫做点P的柱坐标，记作________，其中________． (2)空间点P的直角坐标(x，y，z)与柱坐标(ρ，θ，z)之间的变换公式为 自我校对 (1)(ρ，θ，z)　P(ρ，θ，z)　ρ≥0，0≤θ＜2π，z∈R (2)ρcos θ　ρsin θ 1．设点M的直角坐标(－1，－，3)，则它的柱坐标是(　　) A.　　　　　 B． C. D． 解析：首先把直角坐标(－1，－)化为极坐标为，则柱坐标为. 答案：C 2．柱坐标P(16，，5)转化为直角坐标为(　　) A. B．(8，8，5) C．(8，8，5) D．(4，8，5) 解析：ρ＝16，θ＝，x＝ρcos θ＝16cos ＝8，y＝ρsin θ＝16sin ＝8， ∴化为直角坐标为(8，8，5)，应选B. 答案：B 3．空间点P的柱坐标为(ρ，θ，z)，关于点O(0，0，0)的对称点的坐标为(0＜θ≤π)(　　) A．(－ρ，－θ，－z) B．(－ρ，θ，－z) C．(ρ，π＋θ，－z) D．(ρ，π－θ，－z) 解析：(ρ，θ)关于极点的对称点坐标为(ρ，π＋θ)，所以(ρ，θ，z)关于(0，0，0)对称点的坐标为(ρ，π＋θ，－z)，故应选C. 答案：C 4．设点M的柱坐标为，则它的直角坐标为________． 解析：设点M的直角坐标为(x，y，z)，则有[来源:Z+xx+k.Com] 所以点M的直角坐标为(，1，－3)． 答案：(，1，－3) 5．在空间的柱坐标系中，方程ρ＝2表示________． 解析：在极坐标系中，ρ＝2表示圆心在极点半径为2的圆． 在柱坐标系中方程ρ＝2表示以z轴为中轴线的，半径为2的圆柱面． 答案：以z轴为中轴线的，半径为2的圆柱面 类型一　将直角坐标化为柱坐标 例1,►设点M的直角坐标为(1，，4)，求它的柱坐标． 【解析】　由公式得 ∴ρ2＝12＋()2＝4，∴ρ＝2. tan θ＝＝，又x＞0，y＞0，点在第1象限， ∴θ＝. ∴点M的柱坐标为. 【点拨提升】　知点的直角坐标，确定它的柱坐标关键是确定ρ和θ，尤其是θ，要注意求出tan θ，还要根据点M所在象限确定θ的值(θ的范围是[0，2π))． 1．求点M(1，1，3)关于xOz平面对称点的柱坐标． 解析：点M(1，1，3)关于xOz平面的对称点为(1，－1，3)用变换公式得 ρ2＝12＋(－1)2＝12＋12＝2， ∴ρ＝. tan θ＝＝－1，根据所在的卦限知，θ＝π. ∴其关于xOz平面的对称点的柱坐标为. 类型二　将点的柱坐标化为直角坐标 例2,►将下列各点的柱坐标分别化为直角坐标： (1)；(2)；(3)(1，π，0)． 【解析】　设点的直角坐标为(x，y，z)． (1)∵(ρ，θ，z)＝， ∴∴(，1，1)为所求． (2)∵(ρ，θ，z)＝， ∴ ∴(3，－3，－2)为所求． (3)∵(ρ，θ，z)＝(1，π，0)， ∴ ∴(－1，0，0)为所求． 【点拨提升】　点(ρ，θ，z)是三维空间坐标中的点的柱坐标，在平面xOy中实际为极坐标系，且ρ≥0，0≤θ＜2π，在竖直方向上z为任意实数．化点的柱坐标(ρ，θ，z)为直角坐标(x，y，z)，需要运用 2．根据下列点的柱坐标，分别求其直角坐标： (1)(2，0，－2)；(2)(π，π，π)；(3). 解析：设点的直角坐标为(x，y，z)． (1)∵(ρ，θ，z)＝(2，0，－2)， ∴∴(2，0，－2)为所求． (2)∵(ρ，θ，z)＝(π，π，π)， ∴∴(－π，0，π)为所求． (3)∵(ρ，θ，z)＝ ∴∴(0，－3，1)为所求． 类型三　柱坐标系在实际问题中的应用 例3,►给定一个底面半径为2，高为2的圆柱，建立柱坐标系，利用柱坐标系描述圆柱侧面以及底面上点的位置． 【解析】　以圆柱底面圆的圆心为原点，取两条互相垂直的直线为x轴y轴，以向上的中轴线为z轴正方向建立柱坐标系．[来源:学。科。网] 下底面上的点的柱坐标满足(ρ1，θ1，0)，其中0≤ρ1≤2，0≤θ1＜2π.[来源:Z,xx,k.Com] 上底面上的点的柱坐标满足(ρ2，θ2，2)