1.4.2 球坐标系（课件+课时训练）-2019-2020学年高中数学选修4-4【高考领航】一线课堂高中同步核心辅导（人教A版）

第二课时　球坐标系 [课标领航]　1．了解球坐标系刻画空间中点的位置的方法．　2．体会球坐标系与空间直角坐标系中刻画点的位置的区别． 3．了解柱坐标与球坐标在日常生活中的应用． 球坐标系 (1)定义：建立空间直角坐标系O­xyz，设P是空间任意一点，连接OP，记|OP|＝r，OP与Oz轴正向所夹的角为φ，设P在xOy平面上的射影为Q，Ox轴按逆时针方向旋转到OQ时所转过的最小正角为θ，这样点P的位置就可以用有序数组________表示．这样，空间的点与有序数组(r，φ，θ)之间建立了一种对应关系，把建立上述对应关系的坐标系叫做球坐标系(或空间极坐标系)，有序数组(r，φ，θ)叫做点P的球坐标，记作________，其中________________．[来源:学科网ZXXK] (2)空间点P的直角坐标(x，y，z)与球坐标(r，φ，θ)之间的变换关系为 自我校对 (1)(r，φ，θ)　(r，φ，θ)　r≥0，0≤φ≤π，0≤θ＜2π (2)rsin φcos θ　rsin φsin θ 1．已知一个点的球坐标为，则它的方位角为(　　) A.　　　　　　　　 B． C. D． 解析：θ＝. 答案：A 2．在直角坐标系中，点P的坐标为，则其球坐标为(　　) A. B． C. D． 解析：r＝＝，cos φ＝＝， φ＝， tan θ＝＝，θ＝， ∴球坐标为. 答案：B 3．点P的球坐标为，则它的直角坐标为(　　) A．(1，0，0) B．(－1，－1，0) C．(0，－1，0) D．(－1，0，0) 解析：x＝sin cos π＝－1，y＝sin sin π＝0， z＝cos ＝0， ∴直角坐标为(－1，0，0)． 答案：D 4．在球坐标系中，方程r＝2表示空间的________． 解析：由球坐标的概念知，方程r＝2表示球心在坐标原点，半径为2的球面． 答案：球心在原点，半径为2的球面 5．已知点M的球坐标为，则它的直角坐标为________，它的柱坐标是________． 解析：x＝4sin cos ＝4··(－)＝－2， y＝4sin sin ＝4··＝2， z＝4cos ＝4·＝2， ∴点M的直角坐标为(－2，2，2)． ρ＝＝2， cos θ＝＝－， sin θ＝＝，[来源:学科网] ∴θ＝. ∴点M的柱坐标为. 答案：(－2，2，2)　 类型一　将点的球坐标化为直角坐标 例1,►将下列各点的球坐标分别化为直角坐标： (1)；(2)；(3)(3，π，π)． 【解析】　设点的直角坐标为(x，y，z)， (1)∵(r，φ，θ)＝， ∴ ∴(－1，－1，－)为所求． (2)∵(r，φ，θ)＝， ∴. ∴为所求．[来源:Z.xx.k.Com] (3)∵(r，φ，θ)＝(3，π，π)， ∴. ∴(0，0，－3)为所求． 【点拨提升】　首先要明确点的球坐标(r，φ，θ)中角φ，θ的边与数轴Oz，Ox的关系，注意各自的限定范围，即0≤φ≤π，0≤θ＜2π. 化点的球坐标(r，φ，θ)为直角坐标(x，y，z)，需要运用公式转化为三角函数的求值与运算． 1．根据下列点的球坐标，分别求其直角坐标： (1)； (2)； (3). 解析：设点的直角坐标为(x，y，z)， (1)∵(r，φ，θ)＝， ∴. ∴(1，－1，)为所求． (2)∵(r，φ，θ)＝， ∴ ∴为所求． (3)∵(r，φ，θ)＝， ∴. ∴为所求． 类型二　球坐标系的实际应用 例2,►在赤道平面上，我们选取地球球心O为极点，以O为端点且与零子午线相交的射线Ox为极轴，建立坐标系．有A、B两个城市，它们的球坐标分别为A，B，飞机应该走怎样的航线最快，所走的路程有多远？ 【解析】　由题意可知面AOO1、面BOO1都垂直于两圆平面， ∴∠AO1B是两平面AOO1和BOO1的夹角， 又∵A，B， ∴∠AO1B＝－＝， ∠AOO1＝∠BOO1＝，∠AO1O＝∠BO1O， ∴小圆O1的半径r＝R，∴AB＝R，∴∠AOB＝， 则经过A、B两地的球面距离为R. 故飞机经过A、B两地的大圆，航线最短，其路程为R. 【点拨提升】　我们根据A、B两地的球坐标找到纬度和经度，当飞机沿着过A、B两地的大圆走时，飞机最快，求所走的路程实际上是要求我们求出过A、B两地的球面距离． 2．用两平行面去截球，如图，在两个截面圆上有两个点，它们的球 坐标分别为A、B，求出这两个截面间的距离． 解析：在△OO1A中，由球坐标知∠AOO1＝，|OA|＝8， ∴|OO1|＝8cos∠AOO1＝8×＝4， 同理在△OO2B中，|OB|＝8，∠O2OB＝， ∴OO2＝4，∴O1O2＝8， ∴两个截面间的距离为8. 一、选择题 1．要刻画绕地球运转的某气象卫星的位置，应运用(　　) A．极坐标系