人教B版高中数学选修2-2 第一章1.3.3导数的实际应用-教案

1.3 导数的应用 1.3.3导数的实际应用 【提出问题】 求函数f(x)＝x3－3x＋2在[－2,2]上的最值。 解：因为f′(x)＝3x2－3， 令f′(x)＝0，则x＝±1. 当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表： x -2 (-2,-1) -1 (-1，1) 1 (1，2) 2 f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) 0 ↑ 极大值 ↓ 极小值 ↑ 4 因此，x＝-1是函数的极大值点，极大值为f(-1)＝4， x＝1是函数的极小值点，极小值为f(1)＝0． f(-2)＝0，f(2)＝4， 所以函数f(x)＝x3－3x＋2在[－2,2]上的最大值为4，最小值为0. 如果我们知道了函数的解析式，可以用导数求出函数的最值。 在经济生活中，人们经常遇到最优化问题。例如，为使经营利润最大，生产效率最高或为使用力最省、用料最少、消耗最省等等，需要寻求相应的最佳方案或最佳策略，这些都是最优化问题。导数是解决这类问题的基本方法之一。 下面我们研究几个典型的实际问题。 【经典例题】 例1　小明做化学实验要用滤纸做一个圆锥形漏斗，如果漏斗的母线长为20，要使漏斗的体积最大，求漏斗的高是多少？ 解：设漏斗的高为x，则底面半径为， 所以漏斗的体积V＝π(202－x2)·x,0<x<20， V′＝(400－3x2)， 令V′＝0，则x＝，或x＝－(舍去)． 当x∈(0，)时，V′>0， 当x∈(，20)时，V′<0. 因为x＝是函数在（0，20）内唯一的极大值点， 所以x＝时V取得最大值． 【规律技巧】解决最优化问题的四个步骤： 第一步：分析实际问题中各量之间的关系，建立实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y＝f(x)，找出变量的取值范围； 第二步：求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0； 第三步：比较函数在区间端点和使f′(x)＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值； 第四步：检验结果是否与实际问题相符. 例2　某服装生产企业在生产过程中，每天生产产生的破损服装数y是每天产量x的函数，y＝f(x)＝该企业售出一件服装可获利m（m>0）元，每一件破损服装损失元，为了获得最大利润，该企业每天产量应定为多少？ 解：设在每天生产的x件产品中，x－y是正品数，y是破损服装数，每日获利总数为