人教B版高中数学选修2-2 第一章1.2.2导数公式表及数学软件的应用-教案

1.2 导数的运算 1.2.2 导数公式表及数学软件的应用 【提出问题】 我们证明了幂函数的求导公式。 即 那么，其它的基本初等函数的导数是怎样的呢？ 【获得新知】 （1）设y=f(x)=sinx， 即(sinx)’=cosx 在证明过程中，用到了微积分中的重要极限： 证明中还用到了和差化积公式： （2）函数y=cosx的导数 设y=f(x)= cosx 即(cosx)’=-sinx 在证明过程中，用到了微积分中的重要极限： 证明中还用到了和差化积公式： 【解决问题】 为了方便并减少重复的劳动，数学工作者制作出常用函数的求导公式表，供大家使用。这里仅列出基本初等函数的求导公式表。 y′＝μxμ－1，μ为有理数 y＝ax(a>0，a≠1，x>0) y′＝axln a y＝logax(a>0，a≠1，x>0) y′＝ y＝sin x y′＝cosx y＝cos x y＝－sinx 现在，有些函数的导数我们要证明它还有困难，只要求会使用它求函数的导数就可以了。 【经典例题】 例1．求函数y＝log5x的导数。 解：因为 所以函数y＝log5x的导数为。 【规律技巧】求函数的导数，一般不再用定义，而主要应用导数公式，这就要求必须熟记常见的求导公式，应用公式时一般遵循“先化简，再求导”的基本原则．在实施化简时，首先要注意化简的等价性，避免不必要的运算失误． 例2. 求曲线在(1,sin1)处的切线方程． 解：因为 所以曲线在(1,sin1)处的切线斜率为cos1 由点斜式得，曲线在点(1,sin1)的切线方程为cos1∙x-y+sin1-cos1=0 【规律技巧】利用导数公式求切线方程的步骤: 如果所给点在曲线y=f(x)上 第一步：利用导数公式求f′(x0)； 第二步：由点斜式写出切线方程y－y0＝f′(x0)(x－x0)，并整理成一般式． 如果所给点不在曲线y=f(x)上，则先设切点坐标，利用斜率相等建立方程得到切点坐标，再求切线方程。 例3：过（1,0）作曲线y＝ex的切线，求切点的坐标及切线的方程． 解：因为（1,0）不在曲线y＝ex上 所以设切点坐标为(x0，ex0)， 因为y′＝(ex)′＝ex， 所以曲线y＝ex的切线的斜率为ex0， 所以所求切线方程为y－ex0＝ex0(x－x0)． 所以切线过（1,0），