人教B版高中数学选修2-2 第一章1.2.1常数函数与幂函数的导数-教案

1.2 导数的运算 1.2.1 常数函数与幂函数的导数 【提出问题】 已知函数f(x)=x2,求f(x)的导数。 解：因为⊿y=f(x+⊿x)-f(x)= (x+⊿x)2-x2= (2x+⊿x) ⊿x 所以 因为 所以f(x)的导数为2x。 前面我们还总结了求函数的导数的步骤： 第一步：求函数的增量； 第二步：求函数的平均变化率； 第三步：取极限，得到函数的导数f′(x)＝ . 如果每次计算我们都按上述步骤求导数就比较麻烦，这时我们就需要求出一些常用函数的导数作为公式，再求其他比较复杂的函数的导数就比较方便了。下面我们先求常数函数和幂函数的导数。 【获得新知】 （1）常数函数的导数 设y=f(x)≡C，C是常数 即C’=0 （2）函数y=x的导数 设y=f(x)= x 即x’=1 （3）函数y= x2的导数 由前面推导可知f(x)= x2的导数为2x 即（x2）’=2x （4）函数y= x3的导数 设y=f(x)= x3 即（x3）’=3 x2 （5）函数的导数 设y=f(x)= ， 即 （6）函数的导数 设y=f(x)= （） 即 【解决问题】 比较幂函数的求导结果： 事实上，可以证明幂函数的求导公式，对任意实数幂都成立。 即 现在，我们要证明它还有困难，只要求会使用它求幂函数的导数就可以了。 【经典例题】 例1．求函数的导数。 解：因为 所以函数的导数为。 【规律技巧】对于简单函数的导数，关键是对原函数解析式的合理转化，把不能直接利用导数公式的函数解析式转化为可以利用导数公式求导的解析式. 例2. 求曲线在(1,1)处的切线方程． 解：因为 所以曲线在(1,1)处的切线斜率为 由点斜式得，曲线在点（1,1）的切线方程为2x-3y+1=0 【规律技巧】利用导数求曲线的切线方程，关键是求切线的斜率。利用导数公式求函数的导数要比利用导数的定义求函数的导数快捷简便，所以要求对常用函数的导数公式理解并加以记忆。 例3：求曲线y＝2x3-3x过点(1,-2)的切线的切点的横坐标． 解：因为点(1,-2)不在曲线y＝2x3-3x上，所以(1,-2)不是切点 设切点坐标为(x0，y0)， y′＝6x-3 所以在(x0，y0)的切线斜率为6 x0-3 因为切线过(1,-2)和(x0，y0)，所以 解得， 【规律技巧】过曲线外一点作曲线的切线不一定只有两条。 这一点我们要特别注