专题17.1 勾股定理证明及应用（讲练）-简单数学之2019-2020学年八年级下册同步讲练（人教版）

专题17.1 勾股定理证明及应用 一、知识点 1、勾股定理：直角三角形两直角边的平方之和等于斜边的平方。 2、勾股定理的证明：勾股定理的证明主要采用面积法。 3、勾股定理应用：分成两个方面： 1）计算：利用勾股定理构造方程求解几何量或解决实际问题； 2）用于几何证明 二、考点点拨与训练 考点1：勾股定理证明 典例：（2019·青岛市城阳第十三中学初二期中）阅读探索 问题背景：著名数学家华罗庚提出把“数形关系”（勾股定理）带到其他星球，作为地球人与其他星球“人”进行第一次”谈话“的语言.2002年8月在北京召开的国际数学大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图注》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图1所示）.勾股定理是一条古老的数学定理，它有很多种证明方法，我国汉代数学家赵爽根据弦图，利用面积进行了证明. 赵爽证明方法如下： 以a、b为直角边（b>a），以c为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于，把这四个直角三角形拼成如图1所示形状. ∵Rt△DAE≌Rt△ABF ∴∠EDA=∠FAB ∵∠EAD+∠EDA=90° ∴∠FAB+∠EAD=90° ∴四边形ABCD是一个边长为c的正方形，它的面积等于 ∵EF=FG=GH=HE=b-a ∠HEF=90° ∴四边形EFGH是一个边长为b-a的正方形，它的面积等于 ∴ ∴ 从而证明了勾股定理. 思维拓展： 1、如果大正方形的面积为13，小正方形的面积为1，直角三角形的较短直角边长为a，较长直角边长为b，那么的值为 . 2、美国第二十届总统加菲尔德也曾经给出了勾股定理的一种证明方法，如图2所示， 他用两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形拼出了一个直角梯形，请你利用此图形验证勾股定理. 证明：∵直角梯形ABCD的面积可以用两种方法表示： 第一种方法表示为： 第二种方法表示为： ∴ = ∴ 探索创新： 用纸做成四个全等的直角三角形，两直角边的长分别为a和b，斜边长为c，请你开动脑筋，将它们拼成一个能证明勾股定理的图形（不同于上面图1和图2）.请画出你拼成的图形，并用你画的图形证明勾股定理. 方法或规律点拨 本题考查了勾股定理的证明，解题的关键是拼出熟知的勾股图，利用等面积法进行证明. 巩固练习 1、（2019·佛山市南海区大沥镇许海初级中学初二月考）一个直立的火柴盒在桌面上倒下，启迪人们发现了勾股定理的一种新的证明方法：如图1，火柴盒的一个侧面ABCD（是一个长方形）倒下到AEFG的位置，连接CF，此时，∠FAC＝90°，设AB＝a，BC＝b，AC＝c．请利用直角梯形BCFG的面积证明勾股定理：a2+b2＝c2． 2、勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感。他惊喜地发现：当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明.下面是小聪利用图1证明勾股定理的过程： 将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中∠DAB=90°，求证： . 证明：连结DB，过点D作BC边上的高DF， 则DF=EC= ， ∵， 又∵， ∴， ∴ 请参照上述证法，利用图2完成下面的证明： 将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中∠DAB=90°. 求证： . 证明：连结 ， ∵ ， 又∵ ， ∴ . ∴. 考点2：勾股定理在网格图中的应用 典例：（2019·四川戴氏教育集团广元总校初二期中）材料阅读： 若a是正整数，则长度为的线段是有可能表示正方形网格中两个格点之间的距离（设小正方形的长度为单位1）．如图1所示，A、B两点之间的距离就是． （1）在图1中以A为一个端点，画出一条长为的线段AC； （2）（空格处填正整数，两组数要求不一样），并根据你填的数字，在图2中画出两种对应的线段，其长度均为； （3）利用材料所给的方法，直接写出三边长分别为、、的三角形的面积：__________． 方法或规律点拨 本题考查了勾股定理以及三角形面积求法，解题关键是结合网格用割补法求三角形的面积． 巩固练习 1、（2020·吉林初二期末）图①、图②均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点叫做格点，每个小正方形的边长均为1． （1） 在图①中，以格点为端点，画线段MN＝． （2）在图②中，以格点为顶点，画正方形ABCD，使它的面积为10． 2、（2020·甘肃初二期末）如图，是规格为8×8的正方形网格，请在所给网格中按下列要求操作： (1)在网格中建立平