1.2.1-1.2.2 几个常用函数的导数 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则（一）（课件+课时训练）-2019-2020学年高中数学选修2-2【高考领航】一线课堂高中同步核心辅导（人教A版）

1．2　导数的计算 1．2.1　几个常用函数的导数 1．2.2　基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一) 1．几个常用函数的导数 原函数 导函数 f(x)＝c f′(x)＝0 f(x)＝x f′(x)＝1 f(x)＝x2 f′(x)＝2x f(x)＝ f′(x)＝－ f(x)＝ f′(x)＝2．基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 f(x)＝c f′(x)＝0 f(x)＝xn(n∈Q*) f′(x)＝nxn－1 f(x)＝sin x f′(x)＝cos_x f(x)＝cos x f′(x)＝－sin_x f(x)＝ax f′(x)＝axln_a(a>0) f(x)＝ex f′(x)＝ex f(x)＝logax f′(x)＝(a>0且a≠1)f(x)＝ln x f′(x)＝ 1．下列结论： ①(sin x)′＝－cos x；　　　　②′＝； ③(log3x)′＝； ④(ln x2)′＝(x>0)． 其中正确的有(　　) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 解析：选A.利用导数公式(sin x)′＝cos x，①错；′＝－x－2＝－，②错；(log3x)′＝，③错；(ln x2)′＝(2ln x)′＝，④错．故应选A. 2．已知f(x)＝xα，若f′(－1)＝－4，则α值为(　　) A．－4 B．4 C．±4 D．不确定 解析：选B.∵f′(x)＝α·xα－1，∴f′(－1)＝α·(－1)α－1＝－4.只有当α＝4时上式成立． 3．若y＝sin t，则y′|t＝2π等于(　　) A．1 B．－1C．0 D．cos t 解析：选A.y′＝(sin t)′＝cos t，∴y′|t＝2π＝cos 2π＝1. 4．函数f(x)＝ 的导数是________． 解析：f(x)＝＝x，∴f′(x)＝·x－. 答案：·x－ 5．直线y＝x＋b是曲线y＝ln x(x>0)的一条切线，则实数b＝________． 解析：(ln x)′＝，令＝得x＝2，故切点坐标为(2，ln 2)，将其代入直线方程得ln 2＝×2＋b， 所以b＝ln 2－1. 答案：ln 2－1 类型一　利用公式求导数 例1,►求下列函数的导数： (1)y＝10；(2)y＝x10；(3)y＝；(4)y＝； (5)y＝3x. 【解】　(1)y′＝10′＝0. (2)y′＝(x10)′＝10x10－1＝10x9. (3)y′＝′＝x－1＝x－＝ . (4)y′＝′＝－x－－1 ＝－x－＝－ . (5)y′＝(3x)′＝3xln 3. 【点评】　用导数公式求导，可以简化运算过程、降低运算难度．解题时根据所给问题的特征，将题中函数的结构进行调整，再选择合适的求导公式． 1．求下列函数的导数． (1)y＝5x；(2)y＝； (3)y＝ ；(4)y＝log3x； (5)y＝(1－ )＋； (6)y＝(x＋1)(x－1)＋1. 解：(1)y′＝(5x)′＝5xln 5； (2)y′＝′＝(x－3)′＝－3x－4； (3)y′＝()′＝(x)′＝x－＝； (4)y′＝(log3x)′＝. (5)∵y＝(1－)＋＝＋＝，∴y′＝－x－. (6)∵y＝(x＋1)(x－1)＋1＝x3－1＋1＝x3， ∴y′＝(x3)′＝3x2. 类型二　求函数在某一点处的导数 例2,►求函数f(x)＝在x＝1处的导数． 【解】　∵f(x)＝＝x－， ∴f′(x)＝(x－)′＝－x－， ∴f′(1)＝－. 【点评】　求函数在某点处的导数需要先对原函数进行化简，然后求导，最后将变量的值代入导函数便可求解． 2．已知f(x)＝，且f′(1)＝－，求n. 解：f′(x)＝′＝(x－)′＝－x－－1 ＝－x－＝－， ∴f′(1)＝－＝－， 由f′(1)＝－得－＝－，得n＝2. 类型三　导数的应用 例3,►点P是曲线y＝ex上任意一点，求点P到直线y＝x的最小距离． 【解】　根据题意设平行于直线y＝x的直线与曲线y＝ex相切于点(x0，y0)，该切点即为与y＝x距离最近的点，如图． 则在点(x0，y0)处的切线斜率为1，即y′|x＝x0＝1. ∵y′＝(ex)′＝ex， ∴ex0＝1，得x0＝0，代入y＝ex，y0＝1，即P(0，1)． 利用点到直线的距离公式得距离为. 【点评】　利用基本初等函数的求导公式和结合导数的几何意义可以解决一些与距离，面积相关的几何的最值问题．解题的关键是正确确定所求切线的位置，进而求出切点坐标． 3．求曲线y＝与y＝x2在它们交点处的两条切线与x轴所围成的三角形的面积． 解：两曲线方程联立得解得 ∴y′＝－，∴k1＝－1，k2＝2x|x＝1＝2， ∴两切线方程为x＋y－2＝0，2x－y－1＝0，所围成的图形如上图所示．