3.1.1 数系的扩充和复数的概念（课件+课时训练）-2019-2020学年高中数学选修2-2【高考领航】一线课堂高中同步核心辅导（人教A版）

3．1　数系的扩充和复数的概念 3．1.1　数系的扩充和复数的概念 1．,复数与复数集：我们把形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，全体复数所成的集合C叫做复数集． 2．,复数的表示：复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，这一表示形式叫做复数的代数形式．其中的a与b分别叫做复数z的实部与虚部． 3．,a＋bi与c＋di(a，b，c，d∈R)相等的充要条件是a＝c且b＝d． 4．,复数z＝a＋bi(a、b∈R)分类如下： 复数z 5．,对于复数z＝a＋bi.当b＝0时能比较大小，当b≠0时，不能比较大小，即两个不全是实数的复数不能比较大小． 1．,下列命题中，假命题是(　　) A．两个复数可以比较大小 B．两个实数可以比较大小 C．两个虚数不可以比较大小 D．虚数和实数不可以比较大小 解析：选A.两个复数不一定能比较大小，故A是假命题．B、C、D都是真命题． 2．,有下列5个数：2＋3i2，－4i，5＋i，5－，，其中实数有(　　) A．2个　　　　　　　　 B．3个 C．4个 D．5个 解析：选B.2＋3i2＝2－3＝－1. 3．,如果复数a＋bi(a，b∈R)是虚数，则(　　) A．a＝0 B．b＝0 C．a≠0 D．b≠0 解析：选D.复数a＋bi是虚数，必须b≠0. 4．,若a－2i＝bi＋1(a，b∈R)，则a2＋b2＝________． 解析：若a－2i＝bi＋1，必须a＝1，b＝－2， ∴a2＋b2＝12＋(－2)2＝5. 答案：5 5．,若复数z＝(x2－1)2＋(x－1)i为纯虚数，则实数x的值为________． 解析：由题意，知， ∴x＝－1. 答案：－1 类型一　复数的概念 例1,►下列命题中，正确命题的个数是(　　) ①若x，y∈C，则x＋yi＝1＋i的充要条件是x＝y＝1；[来源:学科网] ②若a，b∈R且a＞b，则a＋i＞b＋i； ③若x2＋y2＝0，则x＝y＝0. A．0　　　　　　　　 B．1 C．2 D．3 【解析】　①由于x，y∈C，所以x＋yi不一定是复数的代数形式，不符合复数相等的充要条件，①是假命题．[来源:Zxxk.Com] ②由于两个虚数不能比较大小，∴②是假命题． ③当x＝1，y＝i时，x2＋y2＝0成立， ∴③是假命题． 【答案】　A 【点评】　在理解概念时，一定要抓住概念的本质，抓住新概念与以前知识的不同之处，尤其是应该满足的条件．利用举反例的形式否定一个命题是很有效的方法． 1．,给出下列几个命题： ①若x是实数，则x可能不是复数； ②若z是虚数，则z不是实数； ③一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部等于零； ④－1没有平方根； ⑤两个虚数不能比较大小． 则其中正确命题的个数为________个． 解析：因实数是复数，故①错；②正确；因复数为纯虚数要求实部为零，虚部不为零，故③错；因－1的平方根为±i，故④错；⑤正确．故答案为2. 答案：2 类型二　复数的分类 例2,►实数x分别取什么值时，复数z＝＋(x2－2x－15)i是(1)实数？　(2)虚数？　(3)纯虚数？ 【解】　(1)当x满足， 即x＝5时，z是实数． (2)当x满足，即x≠－3且x≠5时， z是虚数． (3)当x满足即x＝－2或x＝3时，z是纯虚数． 【点评】　1.当复数不是a＋bi(a、b∈R)的形式时，要通过变形化为a＋bi的形式，以便确定实部和虚部． 2．求解时，要注意实部和虚部本身对变量的要求，否则容易产生增根． 2．,已知复数z＝＋(a2－5a－6)i(a∈R)，试求实数a分别取什么值时，z分别为：(1)实数，(2)虚数，(3)纯虚数． 解：(1)当z为实数时， ∴ ∴当a＝6时，z为实数． (2)当z为虚数时， ∴当a∈(－∞，－1)∪(－1，1)∪(1，6)∪(6，＋∞)时，a为虚数． (3)当z为纯虚数时， ∴ ∴不存在实数a，使得z为纯虚数． 类型三　复数相等的条件 例3,►求使等式(2x－1)＋i＝y－(3－y)i成立的实数x，y的值． 【解】　根据复数相等的充要条件， 由(2x－1)＋i＝y－(3－y)i得， 解得 【点评】　应用复数相等的充要条件时，要注意： (1)必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等，虚部与虚部相等列方程组． (2)利用这一结论，可以把“复数相等”这一条件转化为两个实数等式，为应用方程思想提供了条件，同时这也是复数问题实数化思想的体现，这一思想在解决复数问题中非常重要． 3．,设z1＝(m2－2m－3)＋(m2－4m＋3)i，z2＝－3－i，当m取何实数时： (1)z1＝z2；(2)z1≠0. 解：(1)∵z1＝z2，∴(m2－2m－3)＋(m2－4m＋3)i＝－3－i， ∴即解得m＝2 (2)∵z1≠0，