北师大版高中数学选修4-1 2.5圆锥曲线的几何性质_学案1（无答案）

习题2—4 【学习目标】 1．理解圆锥面的概念。 2．了解圆锥面被平面截得的圆锥曲线的各种情况。 【学习内容】 (1)________，l与AB(或AB的延长线)、AC相交。 (2)________，l与AB不相交。 (3)________，l与BA的延长线、AC都相交。 2．在空间中，取直线l为轴，直线l′与l相交于点O，夹角为α，l′围绕l旋转得到以O为顶点。l′为母线的圆锥面。任取平面π，若它与轴l的交角为β(当π与l平行时，记β＝0)，则 (1)________，平面π与圆锥的交线为椭圆。 (2)________，平面π与圆锥的交线为抛物线。 (3)________，平面π与圆锥的交线为双曲线。 【典例精析】 例1 研究圆锥的截线，说明双曲线为β＜α时，平面π与圆锥的交线。 解析：当β＜α时，平面π与圆锥的两部分相交。在圆锥的两部分分别嵌入Dandelin球，与平面π的两个切点分别是F1、F2，与圆锥两部分截得的圆分别为S1、S2． 在截口上任取一点P，连接PF1、PF2．过点P和圆锥的顶点O作母线，分别与两个球相切于点Q1、Q2，则PF1＝PQ1，PF2＝PQ2，所以|PF1－PF2|＝|PQ1－PQ2|＝Q1Q2． 由于Q1Q2为两圆S1、S2所在平行平面之间的母线段长，因此Q1Q2的长为定值。 由上述可知，双曲线的结构特点是：双曲线上任意一点到两个定点(即双曲线的两个焦点)的距离之差的绝对值为常数。 例2 如图所示，平面ABC是圆锥面的正截面，PAB是圆锥的轴截面，已知∠APC＝60°，∠BPC＝90°，PA＝4． (1)求二面角A－PC－B的余弦值。 (2)求正截面圆圆心O到平面PAC的距离。 解析：(1)∵∠APC=60，∴△APC为等边三角形。 如图所示，分别取PC、BC的中点D、E，连接AD、DE，则AD⊥PC，DE∥PB． 又PB⊥PC，∴DE⊥PC． 故∠ADE为二面角A-PC-B的平面角。 连接AE，在Rt△ACE中，求得AE2=24． 又AD= PA=2，DE= PB=2，在△ADE中，由余弦定理，得cos∠ADE=-。 (2)取AC的中点F，连接PF、OF，则AC⊥平面POF，从而平面PAC⊥平面POF。 过点O作OH⊥PF，垂足为H，则OH⊥平面PAC，故OH的长为点O到平面PAC的距离。 在Rt△ACB中，AC=PA=