北师大版高中数学选修4-1 2.4平面截圆锥面_教案

平面截圆锥面 【教学目标】 1．亲历认识圆锥面的探索过程，体验分析归纳得出圆锥的垂直截面与一般截面的结论，进一步发展学生的探究、交流能力。 2．掌握圆锥面的形成。 3．熟练运用圆锥的垂直截面与一般截面的结论解决问题。 【教学重难点】 重点：掌握圆锥面的形成。 难点：熟练运用圆锥的垂直截面与一般截面的结论解决问题。 【教学过程】 一、直接引入 师：今天这节课我们主要学习平面截圆锥面，这节课的主要内容有圆锥面、圆锥的垂直截面、圆锥的一般截面，并且我们要掌握这些知识的具体应用，能熟练解决相关问题。 二、讲授新课 （1）教师引导学生在预习的基础上了解圆锥面的内容，形成初步感知。 （2）首先，我们先来学习圆锥的垂直截面及其结论，它的具体内容是 用一个平面截圆锥面，当截面与圆锥面的轴垂直时，所得的交线是一个圆。 它是如何在题目中应用的呢？我们也通过一道例题来具体说明。 例：证明：用一个平面截圆锥面平面与圆锥面的轴垂直，交线是一个圆。 因为（垂足为） 所以，平面所在的平面。 设为交线上的任意一点，过点作圆锥的母线，连接，则为平面与平面的交线，为平面与所在的平面的交线。 所以 即 因此（常数） 所以点到定点的距离为常数，故所得交线为一个圆。 根据例题的解题方法，让学生自己动手练习。 练习： 设两条相交直线的夹角为，若，则两条相交直线旋转一周得到的是什么？ 解：平面。 （3）接着，我们再来看下圆锥的一般截面内容，它的具体内容是 任取一个平面，它与圆锥面的轴所成的夹角为（与平行时，记） ①当（为圆锥母线与轴的交角）时，平面截圆锥面所得的交线为椭圆； ②当时，平面截圆锥面所得的交线为双曲线； ③当时，平面截圆锥面所得的交线为抛物线。 它是如何在题目中应用的呢？我们通过一道例题来具体说明。 例：讨论角的变化对椭圆形状的影响。 角越大，椭圆越扁，角越小，椭圆越接近圆。 根据例题的解题方法，让学生自己动手练习。 练习： 试研究以过抛物线的焦点的弦为直径的圆与抛物线的准线的位置关系。 解：结合中位线的定义与抛物线的定义得出以过抛物线的焦点的弦为直径的圆与抛物线的准线的位置关系为相切。 三、课堂总结 1．这节课我们主要讲了 （1）圆锥面； （2）圆锥的垂直截面：有一个平面截圆锥面，当截面与圆锥面的轴垂直时，所得的交线是一个圆； （3）圆锥的一般截面： 任取一个平面，它与圆锥面的轴所成的夹角为（与平