湘教版高中数学选修4-4 2.3圆锥曲线的参数方程_教案

圆锥曲线的参数方程 【教学目标】 圆锥曲线的参数方程及其与普通方程的关系，系数a，b的含义； 【教学重难点】 圆锥曲线参数方程的推导及应用，参数方程与普通方程的相互转化。 【教学过程】 一、圆的参数方程 写出圆方程的标准式和对应的参数方程。 （1）圆参数方程。 （2）圆参数方程。 二、椭圆的参数方程 类比圆的参数方程，能写出椭圆的参数方程吗？ 问题：以坐标原点O为圆心，分别以A、B(a>b>0)为半径作两个圆。点A是大圆上任意一点，点B是大圆半径与小圆的交点，过点A作AN⊥x轴于点N，再过点B作BM⊥AN于点M。求当半径OA绕点O旋转时，点M的轨迹的参数方程。 设以Ox为始边，OA为终边的角为θ，点M的坐标是(x，y)。那么点A的横坐标为x，点B的纵坐标为y。由于点A，B均在角的终边上，由三角函数的定义有 x＝ON＝|OA|cosθ＝acosθ， y＝NM＝|OB|sinθ＝bsinθ。 当半径OA绕点O旋转一周时，就得到了点M的轨迹，它的参数方程是 即 (θ为参数)。 这是中心在原点O，焦点在x轴上的椭圆的参数方程。常数A、B分别是椭圆的长半轴长和短半轴长。 在椭圆的参数方程中，通常规定参数θ的范围为。 椭圆的参数方程中参数的意义与圆的参数方程(θ为参数)中参数θ的意义类似吗？ 由图可以看出，参数是点M所对应的圆的半径OA（或OB）的旋转角（称为点M的离心角），不是OM的旋转角。参数是半径OM的旋转角。 焦点在轴上的椭圆的参数方程： 练习： 已知椭圆＝1，点M是椭圆上位于第一象限的弧上一点，且∠xOM＝60°。 （1）求点M的坐标；（2）如何表示椭圆在第一象限的弧？ 错解：由已知可得a＝3，b＝2，θ＝600， ∴x＝acosθ＝3cos60°＝，y＝bsinθ＝2sin60°＝。 从而，点M的坐标为。 正解：设点M的坐标为(x，y)，则由已知可得y＝x，与＝1联立， 解得x＝， y＝。 所以点M的坐标为(，)。 另解：∵∠xOM=60°， ∴可设点M的坐标为(|OM|cos60°，|OM|sin60°)。 代入椭圆方程解出|OM|，进而得到点M的坐标。 例1．求椭圆的内接矩形的面积及周长的最大值。 解：如图，设椭圆的内接矩形在第一象限的顶点是A，矩形的面积和周长分别是S、L。 ， 当且仅当时，，，此时α存在。 例2．动