人教A版高中数学选修4-2-4.1.2 特征值特征向量的计算-课件(共30张PPT)

特征值特征向量的计算 定义 1 设A为n阶方阵，X是n维向量，如果 存在数l，使方程AX=lX有非零解，则称l为矩阵A的特征值，相应的非零解称为A的属于l的特征向量 方程AX=lX AX-lX =O (A-lE)X=O 特征值:使n元齐次方程AX=lX 有非零解的数l0 A的对应于l0的特征向量： 即不论l取何值，方程AX=lX一定有解 例如：对 ，取 l=4，代入方程AX= lX 得 AX= 4X (A-4E)X=O (A-4E)X= O 有非零解 所以，l=4是矩阵A的一个特征值 对 ，取 ，得一个基础解系 则方程(A-4E)X=O的全部解为： c为任意常数 A的属于l=4 的特征向量： c≠0 1、求n阶方阵A的特征值： 数l0是A的特征值 l0使方程AX= lX有非零解 因此 ：l0是A的特征值 l0使 成立 求A的特征值步骤： (1) 计算n阶行列式 解得方程的根l1，l2，… ，ln， 则l1， l2，… ，ln即是A的特征值 设 则方程 即 是的n次方程 在复数域上，方程 一定有 n个根。 A的特征多项式 方程 A的特征方程 定义 2 设A为n阶方阵， 为其特征值组，则其特征方程可表示为： 则 称为 的代数重数(重数)，而 特征子空间的维数 称为几何重数(度数)。 显然： 解： 令 ， 得 l1 =-1，l2 =7 则A的特征值为l1 =-1，l2 =7 【例1】求 的特征值 2、求A的属于特征值l的特征向量 设li是A的特征值，则方程AX=li , X有非零解. 即方程(A-liE)X=O有非零解， 方程组(A-liE)X=O的全部非零解 A的对应于特征值li的特征向量: 2）求出(A-liE)X=O的一个基础解系 V1、V2、…、Vs 步骤：1）把 l= li代入方程(A-liE)X=O 得一齐次线性方程组(A-liE)X=O 3） A的属于特征值li 的特征向量为： 是不全为零