主观题专练 平面向量、三角函数与解三角形（2）-2020高考文科数学【试吧大考卷】二轮复习专项分层特训卷

平面向量、三角函数与解三角形(2) 1．已知函数f(x)＝sin ωx－cos ωx(ω>0)的最小正周期为π. (1)求函数y＝f(x)图象的对称轴方程； (2)讨论函数f(x)在上的单调性． 解析：(1)∵f(x)＝sin ωx－cos ωx＝，且T＝π，∴ω＝2. sin 于是f(x)＝(k∈Z)， ＋(k∈Z)，得x＝＝kπ＋.令2x－sin 即函数f(x)图象的对称轴方程为x＝(k∈Z)． ＋ (2)令2kπ－(k∈Z)． (k∈Z)，得函数f(x)的单调递增区间为≤2kπ＋≤2x－ 注意到x∈，所以令k＝0，[来源:Z,xx,k.Com][来源:Z_xx_k.Com] 得函数f(x)在； 上的单调递增区间为 同理，其单调递减区间为. 2．[2019·浙江卷，18]设函数f(x)＝sin x，x∈R.[来源:学科网] (1)已知θ∈[0,2π)，函数f(x＋θ)是偶函数，求θ的值； (2)求函数y＝2的值域． 2＋ 解析：本题主要考查三角函数的性质、三角恒等变换，考查考生的逻辑推理能力及运算求解能力，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算． (1)因为f(x＋θ)＝sin(x＋θ)是偶函数， 所以，对任意实数x都有sin(x＋θ)＝sin(－x＋θ)，即sin xcos θ＋cos xsin θ＝－sin xcos θ＋cos xsin θ， 故2sin xcos θ＝0，所以cos θ＝0.又θ∈[0,2π)，因此θ＝.[来源:学科网]或 (2)y＝22＋ ＝sin2＋sin2 ＝＋ ＝1－ ＝1－. cos 因此，函数的值域是. 3．[2019·山西大同联考]在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sin A＝，角C为钝角，b＝5. ，tan(A－B)＝ (1)求sin B的值； (2)求边c的长． 解析：(1)因为角C为钝角，则A为锐角，sin A＝， ＝，所以cos A＝ 又tan(A－B)＝， ，cos(A－B)＝，且sin(A－B)＝，所以0<A－B< 所以sin B＝sin[A－(A－B)]＝sin Acos(A－B)－cos Asin(A－B)＝. ＝×－× (2)因为. ，且b＝5，所以a＝3＝＝ 由(1)知cos B＝， 所以cos C＝－cos(A＋B)＝－cos A cos B＋sin Asin B＝－， 则c2＝a2＋b2－2abcos C＝90＋25－2×3＝169，所以c＝13.×5× 4．[2019·安徽五校联盟第二次质检] 如图，在平面四边形ABCD中，AD＝2，sin∠CAD＝ACsin∠BAC＋BCcos B＝2BC，且B＋D＝π，求△ABC的面积的最大值． ， 解析：在△ABC中，由ACsin∠BAC＋BCcos B＝2BC，结合正弦定理可得[来源:学#科#网Z#X#X#K] sin Bsin∠BAC＋sin∠BACcos B＝2sin∠BAC， ∵sin∠BAC≠0， ∴＝1，∵0<B<π， ＝2，sinsin B＋cos B＝2,2sin ∴B＋. .又B＋D＝π，∴D＝，∴B＝＝ 在△ACD中，D＝， ，∴cos∠CAD＝，sin∠CAD＝ 则sin∠ACD＝sin(D＋∠CAD)＝. ，∴AC＝＝，即＝，由正弦定理得＝×＋× 在△ABC中，7＝AC2＝AB2＋BC2－AB·BC≥2AB·BC－AB·BC＝AB·BC， 当且仅当AB＝BC时取“＝”，则S△ABC＝.，即△ABC的面积最大值为AB·BC≤ 5．[2019·南昌模拟]已知函数f(x)＝1＋2，△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c. －2cos2·cossin (1)求f(A)的取值范围； (2)若A为锐角且f(A)＝，求b的值． sinC，△ABC的面积为，2sinA＝sinB＋ 解析：(1)f(x)＝， sinx－cosx＝2sin ∴f(A)＝2sin， 由题意知，0<A<π，则A－， ∈ ∴sin， ∈ 故f(A)的取值范围为(－1,2]． (2)由题意知，sin＋2kπ，k∈Z，∵A为锐角， ＋2kπ，k∈Z，即A＝＝，∴A－＝ ∴A＝. 由正、余弦定理及三角形的面积得 .解得b＝ 6．[2019·四川绵阳第一次诊断]在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，且2csin B＝3atan A. (1)求的值； (2)若a＝2，求△ABC面积的最大值． 解析：(1)∵2csin B＝3atan A，∴2csin Bcos A＝3asin A， 由正弦定理得2cbcos A＝3a2，由余弦定理得b2＋c2－a2＝3a2，化简得b2＋c2＝4a2， ∴＝4. (2)∵a＝2，由(1)知b2＋c2＝4a2＝16，∴由余弦定理得cos A＝. ＝ 根据基本不等式知b2＋c2≥2