人教A版高中数学选修4-2-1.3.1 线性变换的基本性质-教案

线性变换的基本性质 【教学目标】 一、知识与技能： 1．会证明定理1和定理2； 2．理解矩阵变换把平面上的直线变成直线 二、方法与过程 1．分析可逆的线性变换将直线变成直线， 2．平行四边形变成平行四边形这一结论，得到定理1和定理2的证明，寻求线性变换在向量上的作用等式。 三、情感、态度与价值观 1．感受数学活动充满探索性和创造性，激发学生乐于探究的热情。增强学生的符号意识， 2．培养学生的逻辑推理能力。 【教学重难点】 1．定理的探究及证明 2．定理的探究 【教学过程】 一、引入： 数学中，经常通过引入新的工具，建立不同对象之间的联系来研究问题。 矩阵正是研究图形变换的基本工具。 正如前面，我们用二阶矩阵与平面向量（列向量）的乘积来表示线性变换这一特殊的几何变换。 线性变换坐标公式 矩阵乘向量表示 （均为常数） 点和线是构成平面图形的基本元素。 自然地，我们就会提出问题： 直线在线性变换作用下变成什么图形呢？ 第一环节：请同学们自主学习； 第二环节：师生共同探究。 性质1（运算律） 设是一个二阶矩阵，，是平面上的任意两个向量，是一个任意实数，则 （1）； （2）。 定理1 设是一个二阶矩阵，，是平面上的任意两个向量，，是两个任意实数，则 。 教材是用什么方法得出上述结论的？ 从特殊到一般，再对一般结论给出逻辑证明。 二、提出猜想： 二阶矩阵对应的变换（线性变换）把平面上的直线变成直线（或一点）。 你能类比上面的方法给出证明吗？ 试证：在直角坐标内，线性变换（均为常数）把直线（不同时为0）变成直线（或一点）。 分析：由，得， 所以，， （i）当时，， 代入直线方程， 得， 即（*）， 此时与不同时为0，所以（*）式表示一条直线； （ii）当时，… 策转化的关键是把直线表示成向量的形式。 略二：转化化归。 （1）对于任意两个不同向量，，由它们的终点所确定的直线可表示为：，其中是实参数，且。 （2）经过向量的终点且平行于非零向量的直线可表示为：，其中是实参数。 性质2（几何解释） 一般地，二阶矩阵对应的线性变换把平面上的直线变成直线（或一点）。 三、知识运用： 矩阵对应的线性变换把直线变成________，把直线变成________。 四、反思学习： 1．本节课你学到了什么知识？ 2．我们是怎样得到线性变换的基本性质的？有什么特别值得注意的地方？ 3．从数学思