专题06 最值和取值范围问题-2020年高考数学(文)解析几何分类突破辅导【学科网名师堂】

的考点五：解析几何（文）《解答题题型分类突破》 专题06 最值和取值范围问题 一、分类透析 分类透析一 最值问题 例1 已知平面内一动点P到点F(1,0)的距离与点P到y轴的距离的差等于1. (1)求动点P的轨迹C的方程； (2)过点F作两条斜率存在且互相垂直的直线l1，l2，设l1与轨迹C相交于点A，B，l2与轨迹C相交于点D，E，求的最小值．· 解 (1)设动点P的坐标为(x，y)，由题意有－|x|＝1. 化简得y2＝2x＋2|x|. 当x≥0时，y2＝4x；当x<0时，y＝0. 所以，动点P的轨迹C的方程为y2＝4x (x≥0)和y＝0 (x<0)． (2)由题意知，直线l1的斜率存在且不为0，设为k，则l1的方程为y＝k(x－1)． 由得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1，x2是上述方程的两个实根， 于是x1＋x2＝2＋，x1x2＝1. 因为l1⊥l2，所以l2的斜率为－. 设D(x3，y3)，E(x4，y4)， 则同理可得x3＋x4＝2＋4k2，x3x4＝1. 故)＋)·(＋＝(· ＝·＋·＋·＋· ＝|||·||＋||·| ＝(x1＋1)(x2＋1)＋(x3＋1)(x4＋1) ＝x1x2＋(x1＋x2)＋1＋x3x4＋(x3＋x4)＋1 ＝1＋＋1＋1＋(2＋4k2)＋1 ＝8＋4＝16.≥8＋4×2 当且仅当k2＝取得最小值16.·，即k＝±1时， 【方法技巧】解决圆锥曲线中的最值问题，一般有两种方法：一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解非常巧妙；二是代数法，将圆锥曲线中的最值问题转化为函数问题(即根据条件列出所求的目标函数)，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角有界法、函数单调法及基本不等式法等，求解最大或最小值． 分类透析二 取值范围问题 例2 已知椭圆C：.＝1(a＞b＞0)的一个焦点是F(1,0)，且离心率为＋ (1)求椭圆C的方程； (2)设经过点F的直线交椭圆C于M，N两点，线段MN的垂直平分线交y轴于点P(0，y0)，求y0的取值范围． 解：(1)设椭圆C的半焦距为c.依题意，得c＝1. 因为椭圆C的离心率为e＝，所以a＝2c＝2，b2＝a2－c2＝3. 故椭圆C的方程为＝1.＋ (2)当MN⊥x轴时，显然y0＝0. 当MN与x轴不垂直时，可设直线MN的方程为y＝k(x－1)(k≠0)． 由消去y并整理得(3＋4k2)x2－8k2x＋4(k2－3)＝0. 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，线段MN的中点为Q(x3，y3)，则x1＋x2＝. 所以x3＝.，y3＝k(x3－1)＝＝ 线段MN的垂直平分线的方程为y＋.＝－ 在上述方程中，令x＝0，得y0＝.＝ 当k＜0时，，＋4k≤－4 当且仅当时等号成立；＝4k，k＝－ 当k＞0时，时等号成立．＝4k，k＝，当且仅当＋4k≥4 所以－.≤y0＜0或0＜y0≤ 综上，y0的取值范围是. 【方法技巧】在圆锥曲线中研究范围，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的取值情况.在利用代数法解决范围问题时，常从以下方面考虑：①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的关键是两个参数之间建立等量关系；③利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；④利用基本不等式求出参数的取值范围；⑤利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围. 二、刷高考改编题 1.高考原题（2018年·浙江卷第21题）如图，已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线C：y2=4x上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上． （Ⅰ）设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴； （Ⅱ）若P是半椭圆x2+ =1(x<0)上的动点，求△PAB面积的取值范围． 改编如下： 已知抛物线C：y2=2px（p≠0）的焦点F在直线2x+y﹣2=0上,点P是抛物线C上异于坐标原点O的任意一点，抛物线在点P处的切线分别与x轴、y轴交于点B，E， (1)设=λ，求证：λ为定值； （2）在（1）的条件下，直线PF与抛物线C交于另一点A，请问：△PAB的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值及此时点P的坐标，若不存在，请说明理由． 解析（1）由题意，抛物线C的焦点在x轴上． 在方程2x+y﹣2=0中，令y=0，得x=1，于是，．解得p=2． 所以，抛物线C的方程为y2=4x．由点P是C上异于坐标原点O的任意一点，设 ． 设切线BP的斜率为k，则切线BP的方程为． 由，消去x并整理得：ky2﹣4y﹣kt2+4t=0． 由k≠0，考虑到判别式△=16﹣4k（﹣kt2+4t）=0． 可得4（kt﹣2）2=0．所以kt﹣