人教B版高中数学选修2-2第一章1.1.1函数的平均变化率-教案+课件

1.1 导数 1.1.1 函数的平均变化率 【提出问题】 问题1：春游爬山的感觉：当山坡平缓时，步履轻盈；当山坡陡峭时，气喘吁吁。怎样用数学反映山坡的平缓与陡峭程度？ 【抽象概括】 假设图一是一座山的剖面示意图，并建立如图所示平面直角坐标系．A是出发点，H是山顶．爬山路线用函数y＝f(x)表示． 图一 自变量x表示某旅游者的水平位置，函数值y＝f(x)表示此时旅游者所在的高度． 我们先假定一小段山路是直的（曲化直）。设点A的坐标为(x0，y0)，点B的坐标为(x1，y1)（如图二）． 图二 问题2：若旅游者从点A爬到点B，且这段山路是平直的，自变量x和函数值y的改变量分别是多少？ 提示：自变量x的改变量为x1－x0，记作Δx =x1－x0，函数值y的改变量为y1－y0，记作Δy＝y1－y0. 问题3：根据Δx与Δy的大小能否判断山坡陡峭程度？ 图四 图三 提示：图三可知，Δy相同，Δx不同，山坡与陡峭程度不同；图四可知，Δy不同，Δx相同，山坡与陡峭程度也不同。所以根据Δx与Δy的大小不能判断山坡陡峭程度 问题4：观察图三和图四，可以用怎样的数量刻画弯曲山路的陡峭程度呢？ 提示：观察图三和图四可知，两边山坡的倾斜的角度可以刻画山路的陡峭程度。 联想到直线的倾斜角的定义，可知可近似地刻画． 【解决问题】 显然，“线段”所在直线的斜率的绝对值越大，山坡越陡．这就是说，竖直位移与水平位移之比的绝对值越大，山坡越陡，反之，山坡越缓． 现在摆在我们面前的问题是：山路是弯曲的，怎样用数量刻画弯曲山路的陡峭程度？一个很自然的想法是将弯曲山路分成许多小段（分割），每一小段山坡可视为平直的。注意各小段的是不尽相同的。但不管是哪一小段山坡，高度的平均变化都可以用起点、终点的纵坐标之差与横坐标之差的比值来度量。即 【获得新知】 一般地，已知函数y＝f(x)，x0，x1是其定义域内不同的两点，记Δx＝x1－x0，Δy＝y1－y0＝f(x1)－f(x0)＝f(x0＋Δx)－f(x0)，则当Δx≠0时，商 ＝ 称作函数y＝f(x)在区间[x0，x0＋Δx](或[x0＋Δx，x0])的平均变化率． 【概念理解】 (1)x0，x1是定义域内不同的两点的横坐标，因此Δx≠0，但Δx可正也可负；Δy＝f(x1)－f(x0)是相应Δx＝x1－x0的改变量，Δy的值可正可负，也可为零．因此，平均变化率可正可负，也可为零． (2)函数f(x)在点x0处的平均变化率与自变量的增量Δx有关，与x0也有关．同一个函数，不同的x0与不同的Δx其平均变化率往往都是不同的． (3)平均变化率的几何意义：如图五所示，表示点(x0，f(x0))与点(x1，f(x1))连线的斜率，是曲线陡峭程度的“数量化”，其值可粗略地表示函数的变化趋势． 图五 ＝＝＝. 根据平均变化率的几何意义，可求解有关割线的斜率及割线的方程． 平均变化率反映事物发展的快慢. 【经典例题】 例1　已知函数，则f(x)在x从1变化到2时的增量为(　　) A． B．－ C．－ D． 解：Δy＝f(2)－f(1)＝. 选A 【规律技巧】函数的增量是指变化后的函数值减去变化前的函数值，函数值的增量一般由Δy来表示，即Δy＝y2－y1＝fx2－fx1. 例2　已知函数的图像上一点(－3，－9)及其附近一点(－3＋Δx，－9＋Δy)，求. 解：∵Δy＝f(－3＋Δx)－f(－3)＝－(－3＋Δx)2－(－9)＝6Δx－(Δx)2， ∴＝＝6－Δx. 【规律技巧】求平均变化率可根据定义代入公式直接求解，解题的关键是弄清自变量的增量Δx与函数值的增量Δy，求平均变化率的主要步骤是： 第一步：计算Δy＝y2－y1＝fx2－fx1； 第二步：计算； 第三步：计算。 例3　已知函数图像上两点，，当时，求割线AB的斜率． 解析：∵Δx＝-1,2＋Δx＝1， ∴ kAB＝＝3. 所以，割线AB的斜率为3 【规律技巧】　一般地，Px0，y0是曲线y＝fx上一点，Qx0＋Δx，y0＋Δy是曲线上与点P邻近的一点，则割线PQ的斜率为fx在从x0变化到x0＋Δx上的平均变化率. 【总结提炼】这节内容我们从爬山开始研究，通过曲化直与分割的方法抽象概括得出平均变化率的概念。曲化直与分割是解决数学问题的重要手段要深入体会。 第2页共4页 $$1.1 导数 1.1.1 函数的平均变化率 【提出问题】 春游爬山的感觉：当山坡平缓时，步履轻盈；当山坡陡峭时，气喘吁吁。怎样用数学反映山坡的平缓与陡峭程度？ 【抽象概括】 【抽象概括】 【提出问题】 若旅游者从点A爬到点B，且这段山路是平直的，自变量x和函数值y的改变量分别是多少？ 【提出问题】 根据Δx与Δy的大小能否判断山坡陡峭程度？ 【