专题九：利用连锁轨迹处理动点在直线（线段）上运动产生的轨迹类最值或路径问题-2019-2020学年八年级下册初二数学专题点化提高训练

专题九：利用连锁轨迹处理动点在直线（线段）上运动产生的轨迹类最值或路径问题 专题导入 导例：如图，△ABC为边长为2的等边三角形，点D为边BC上一动点，以AD为边作等边三角形ADE，连接EC，则在点D运动过程中，AE的最小值为 ． 方法点晴 所谓的“连锁型直线类轨迹”一般涉及到求最值或求路径长之类的问题，这类问题往往又和全等知识相结合，尤其会涉及到旋转类全等变换，把主动点化为从动点，由从动点所在的位置关系入手来进行相应的研究，从而使相应的问题得到转化和解决． 类型举例：以旋转变换（旋转型全等，以旋转90°为例） 已知点A是定点，P在直线BC上运动，作等腰直角△APQ，∠PAQ=90°（此处可以看作点P绕点A逆时针旋转90°），导图如下： 说明： 1．旋转变换涉及到的角度往往会依据题意进行灵活变动，也可以是45°，60°之类； 2．若某动点（称为主动点）在某轨迹上运动，则与其连锁运动的点（称为从动点）也在同样的轨迹上运动．主动点在某直线上运动，从动点也在另一条直线上运动；主动点在某圆上运动，从动点也在另一圆上运动； （3）此处的“连锁运动”即指主动点经过固定几何变换得到从动点． 方法总结: 1．共顶点的等线段中，最常用旋转思路，但也不可以思维定势，辅助线叙述中用一般语言 2．旋转变换还用于处理： ①几何最值问题：几何最值两个重要公理依据是：两点之间线段最短和垂线段最短； ②有关线段的不等关系； ③自己构造绕某点旋转某角度（特别是60度），把共顶点的几条线段变为首尾相接的几条线段，再变为共线取得最小值问题，计算中常用到等腰三角形或勾股定理等知识。 【导例解析】：问题的关键在于AE进行转化，说明可以证明△ABD≌△ACE，从而得到AD=AE．从而把AE的长最小值转化为AD的长最小值，从而利用垂线段最短来处理．∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAC－∠CAD=∠DAEC－∠CAD．∴∠BAD=∠CAE．又∵AB=AC，AD=AE，∴△ABD≌△ACE． ∴AD=AE．当AD⊥BC时，AD取最小值，在Rt△ABD中，∠B=60°，AB=2，∴AD=． ∴AE的最小值为． 典型例题 例1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=5,AC=，CB的反向延长线上有一动点D，以AD为边在右侧作等边三角形ADE，连接CE，则CE最短长为（ ）． A. B. C. D. 【解析】在AC的右侧作等边△ACF，连接EF，则AC=AF=CF=AC= ，∠CAF=∠AFC═60°．证明△DAC≌△EAF（SAS），得出∠ACD=∠AFE=90°．求出∠CFE=30°． 当CE⊥EF时，CE有最小值，由直角三角形的性质即可得出答案． ∵∠ACB=90°，∴∠ACD=90°．在AC的右侧作等边△ACF，连接EF，如图所示， 则AC=AF=CF=AC=，∠CAF=∠AFC═60°． ∵△ADE是等边三角形，∴AD=AE，∠DAE=60°=∠CAF．∴∠CAD=∠FAE． 在△DAC和△EAF中，∴△DAC≌△EAF（SAS）． ∴∠ACD=∠AFE=90°．∴∠CFE=90°-60°=30°． 当CE⊥EF时，CE有最小值，∴CE的最小值=CF=．故选：C． 例2.如图，已知△ABC为边长为2的等边三角形，D是BC的中点，点E在线段AD上运动，连接BE，在BE的下方作等边三角形BEF，连接DF，当△BDF的周长最小时，DF的最小值为 ． 【解析】如图，连接CF．∵△ABC、△BEF都是等边三角形， ∴AB=BC=AC，BE=EF=BF，∠BAC=∠ABC=∠ACB=∠EBF=∠BEF=∠BFE=60°． ∴∠ABC-∠EBD=∠EBF-∠EBD．∴∠ABE=∠CBF． 在△BAE和△BCF中，∴△BAE≌△BCF（SAS）． ∴∠BCF=∠BAD=30°，∴FC⊥AC，即点E在直线AD上运动时，点F在直线FC上运动， 如图，作点D关于CF的对称点G，连接CG，DG，则FD=FG． ∴当B，F，G在同一直线上时，DF+BF的最小值等于线段BG长，此时△BDF的周长最小， 由轴对称的性质，可得∠DCG=2∠BCF=60°，CD=CG， ∴△DCG是等边三角形，∴DG=DC=DB．∴∠DBG=∠DGB=∠CDG=30°． 在Rt△BDF中，∠DBG=30°，BD=1，∴DF=． 例3．如图，在△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC=4，P为AC中点，点D在直线BC上运动，以为边向AD的右侧作正方形ADEF，连接PF，则在点D的运动过程中，线段PF的最小值为 ． 【解析】连接CF，由“SAS”可证△ABD≌△ACF，可得∠AB