专题八：利用轴对称来处理三大类非典型“将军饮马”问题-2019-2020学年八年级下册初二数学专题点化提高训练

专题八：利用轴对称来处理三大类非典型“将军饮马”问题 将军饮马问题是利用轴对称来处理最短距离问题，在此轴对称是工具，最短距离是题中的题眼，通过轴对称“化折为直”，再利用“两点之间线段最短”来达到问题的解决，在此通过作轴对称达到问题的化归，下面我们来处理一下非典型“将军饮马”类的三类问题． 【解题策略】 1.画图建模，画出取最小值时动点的位置，建立相关模型； 2.学会转化，利用轴对称把线段之和转化在同一条直线上． 模型一：角内一定点与角边上两动点所成最短路径问题 问题：在直线，上分别求点M，N，使△PMN的周长最小． 作法：分别作点P关于两直线的对称点P＇和P＇＇，连P＇P＇＇，与两直线交点即为M，N． 结论：两点之间线段最短．PM+MN+PN的最小值为线段P＇P＇＇的长． 例1、如图，∠AOB＝30°，点M、N分别是射线OA、OB上的动点，OP平分∠AOB，且OP＝6，当△PMN的周长取最小值时，四边形PMON的面积为________． 　　　 【分析】设点P关于OA的对称点为C，关于OB的对称点为D，当点M、N在CD上时，△PMN的周长最小，此时△COD是等边三角形，求得三角形PMN和△COD的面积，根据四边形PMON的面积为（ S△COD+S△PMN）求得即可． 【解答】分别作点P关于OA，OB的对称点C，D，连接CD，分别交OA，OB于点M，N，连接OC，OD，PC，PD． ∵点P关于OA的对称点为C，关于OB的对称点为D，∴PM=CM，OP=OC，∠COA=∠POA． ∵点P关于OB的对称点为D，∴PN=DN，OP=OD，∠DOB=∠POB． ∴OC=OD=OP=6，∠COD=∠COA+∠POA+∠POB+∠DOB=2∠POA+2∠POB=2∠AOB=60°． ∴△COD是等边三角形．∴CD=OC=OD=6． ∵∠POC=∠POD，∴OP⊥CD．∴OQ=6×=3．∴PQ=6-3． 设MQ=x，则PM=CM=3-x．∴（3-x）2-x2=（6-3）2．解得x=6-9．∴MN=2MQ=12-18． ∵S△PMN=MN×PQ，S△MON=MN×OQ， ∴S四边形PMON=S△MON+S△PMN=MN×PQ+MN×OQ=MN×OP=×（12-18）×6=36-54． 故答案为36-54． 练习．（1）如图，，点P位于内，，点M、N分别是射线OA、OB上的动点，求的最小周长； （2）若，其它条件不变，则的最小周长是多少． （1）分别作点P关于OA、OB的对称点、，连接、、、、，显然的周长，， 由两点间线段最短，，故的最小周长为． ∵，，∴是等边三角形． ∴，的最小周长为3． （2）． 模型二 角内两定点与角边上两动点与所成最短路径问题 问题：在直线、上分别求点M、N，使四边形PQMN的周长最小． 作法：分别作点Q 、P关于直线、的对称点Q＇和P＇连Q＇P＇，与两直线交点即为M，N． 结论：两点之间线段最短．四边形PQMN周长的最小值为线段P＇P＇＇的长． 例2．在平面直角坐标系中，点A，点B在第一象限内，点B的坐标为（3，4），点A坐标为（7，1），请在x轴、y轴上分别找点P和Q，使P、A、B、Q组成的四边形的周长最小．并求出这个最小值． 【解析】过A作关于x轴的对称点A'，过B作关于y轴的对称点B'，连接A'B'，交x轴于点P，交Y轴于点Q，则P，Q即为所求．过A'，B'分别作x轴、y轴的平行线交于点G， ∵A（7，1），B（3，4），∴AB==5， B′G＝4+1＝5，A′G＝3+7＝10，A'B'=． ∴AB+AP+BQ+QP＝AB+A′P+PQ+B′Q＝5+5．∴所求四边形的周长为． 练习：如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，E，F分别为边AB，AD的中点，点M，N分别为BC，CD上的动点，则四边形EFNM周长的最小值为 ． 答案：如图，延长EB至使，延长至使，连接交、于、．此时四边形周长最小． 周长 ． 模型三：角边上两动点与角内一定点所成最短路径问题 问题：A为上一定点，B为上一定点，在上求点M，在上求点N，使AM+MN+NB的值最小． 作法：作点A关于的对称点A＇，作点B关于的对称点B＇，连A＇B＇交于M，交于N． 结论：两点之间线段最短．AM+MN+NB的最小值为线段A＇B＇的长． 例3、如图，∠AOB＝30°，点M、N分别在边OA、OB上，且OM＝1，ON＝3，点P、Q分别在边OB、OA上，则MP＋PQ＋QN的最小值是　　　　． 　　 解：如图，作M关于OB的对称点M′，作N关于OA的对称点N′，连接M′N′，即为MP＋PQ＋QN的最小值． 根据轴对称的定义可知：∠N′OQ＝∠M′OB＝30°，∠ONN′＝60°， ∴△ONN′为等边三角形，△OMM′为等边三角形．∴∠N′OM