专题20 数学归纳法及其证明-巅峰冲刺2020年高考数学二轮专项提升（江苏）

专题20 数学归纳法及其证明 1、（2017浙江）已知数列满足：，． 证明：当时 （Ⅰ）； （Ⅱ）； （Ⅲ）． 2、（2016年江苏卷）. (1) 求7C－4C的值； (2) 设m，n∈N*，n≥m，求证： (m＋1)C＋(m＋2)C＋(m＋3)C＋…＋nC＋(n＋1)C＝(m＋1)C. 3、（2015年江苏卷） 已知集合X＝{1,2,3}，Yn＝{1,2,3，…，n}(n∈N*)，设Sn＝{(a，b)|a整除b或b整除a，a∈X，b∈Yn}，令f(n)表示集合Sn所含元素的个数． (1) 写出f(6)的值； (2) 当n≥6时，写出f(n)的表达式，并用数学归纳法证明． 4、（2014年江苏卷） 已知函数f0(x)＝(x>0)，设fn(x)为fn－1(x)的导数，n∈N*. (1) 求2f1＋f2的值； (2) 证明：对任意的n∈N*，等式＝都成立． 1． 数学归纳法：一般证明一个与正整数n有关的命题，按下列步骤进行 ①归纳奠基：证明当n取第一个值n0时命题成立 ②归纳递推：假设n=k时命题成立 ，证明当n=k+1时的命题也成立。 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．这种证明方法叫做数学归纳法． 二、关键点 (1)验证是基础 数学归纳法的原理表明：第一个步骤是要找一个数n0，这个n0，就是我们要证明的命题对象对应的最小自然数，这个自然数并不一定都是“1”，因此“找准起点，奠基要稳”是第一个关键点． (2)递推是关键 数学归纳法的实质在于递推，所以从“k”到“k＋1”的过程中，要正确分析式子项数的变化．关键是弄清等式两边的构成规律，弄清由n＝k到n＝k＋1时，等式的两边会增加多少项，增加怎样的项． (3)利用假设是核心 在第二步证明n＝k＋1成立时，一定要利用归纳假设，即必须把归纳假设“n＝k时命题成立”作为条件来导出“n＝k＋1”，在书写f(k＋1)时，一定要把包含f(k)的式子写出来，尤其是f(k)中的最后一项，这是数学归纳法的核心．不用归纳假设的证明就不是数学归纳法． 题型一 运用数学归纳法证明等式 运用数学归纳法证明等式要注意三个步棸：1、验证对于成立的第一个数，2、假设基础，3、通过假设基础验证n=n+1也成立。 例1、(2019南京、盐城一模）已知数列{an}满足a1＝1，a2＝3，且对任意n∈N*，都有a1C＋a2C＋a3C＋…＋an＋1C＝(an＋2－1)·2n－1成立． (1) 求a3的值； (2) 证明：数列{an}是等差数列． 例2、(2019泰州期末） 已知函数f(x)＝1－|2x－1|，0≤x≤1，设fn(x)＝fn－1(f1(x))，其中f1(x)＝f(x)，方程fn(x)＝0和方程fn(x)＝1根的个数分别为gn(0)，gn(1)． (1) 求g2(1)的值； (2) 证明：gn(0)＝gn(1)＋1. 例3、(2018南通、泰州一调） (1) 用数学归纳法证明：当x∈N*时，cosx＋cos2x＋cos3x＋…＋cosnx＝－(x∈R，且x≠2kπ，k∈Z)； (2) 求sin＋2sin＋3sin＋4sin＋…＋2 018sin的值． 题型二 运用数学归纳法证明不等式 运用数学归纳法证明不等式处理运用假设基础，最关键的是要用到放缩法进行缩小或者放大。有时也要运用综合法、分析法进行证明。 例4、(2019苏北三市期末）已知数列{an}满足a1＝，an＋1＝－2a＋2an，n∈N*. (1) 用数学归纳法证明：an∈； (2) 令bn＝－an，证明： ≥3n＋1－3. 例5、(2019苏锡常镇调查）已知f(n)＝＋＋＋…＋，g(n)＝＋＋＋…＋，其中n∈N*，n≥2. (1) 求f(2)，f(3)，g(2)，g(3)的值； (2) 记h(n)＝f(n)－g(n)，求证：对任意的m∈N*，m≥2，总有h(2m)>. 题型三 数学归纳法中的“归纳--猜想--证明” 问题 数学归纳法中的“归纳--猜想--证明” 问题我们称为不完全归纳法，首先要通过n=1,2,3求出参数，或者归纳出解析式，然后再运用数学归纳法给与证明。 例6、(2019常州期末） 是否存在实数a，b，c，使得等式1×3×5＋2×4×6＋…＋n(n＋2)(n＋4)＝(an2＋bn＋c)对于一切正整数n都成立？若存在，求出a，b，c的值；若不存在，说明理由． 序，当第一个子串“010”的最后一个0所在数位是第k(k∈N*，且k≥3)位，则称子串“010”在第k位出现；再继续从第k＋1位按从左往右的顺序找子串“010”，若第二个子串“010”的最后一个0所在数位是第k＋m位(其中m≥3且m∈N*)，则称子串“010”在第k＋m位出现；……；如此不断地重复下去．如：在字符串11010101010中，子