专题17 以三角函数为背景的应用题-巅峰冲刺2020年高考数学二轮专项提升（江苏）

专题17 以三角函数为背景的应用题 1、【2019年高考江苏卷】如图，一个湖的边界是圆心为O的圆，湖的一侧有一条直线型公路l，湖上有桥AB（AB是圆O的直径）．规划在公路l上选两个点P、Q，并修建两段直线型道路PB、QA．规划要求：线段PB、QA上的所有点到点O的距离均不小于圆O的半径．已知点A、B到直线l的距离分别为AC和BD（C、D为垂足），测得AB=10，AC=6，BD=12（单位：百米）． （1）若道路PB与桥AB垂直，求道路PB的长； （2）在规划要求下，P和Q中能否有一个点选在D处？并说明理由； （3）在规划要求下，若道路PB和QA的长度均为d（单位：百米）.求当d最小时，P、Q两点间的距离． 2、【2018江苏卷】某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O的一段圆弧（P为此圆弧的中点）和线段MN构成．已知圆O的半径为40米，点P到MN的距离为50米．先规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD，大棚Ⅱ内的地块形状为，要求均在线段上，均在圆弧上．设OC与MN所成的角为． （1）用分别表示矩形和的面积，并确定的取值范围； （2）若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为．求当为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大． 3、【2017年江苏卷】如图,水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm,容器Ⅰ的底面对角线AC的长为10cm,容器Ⅱ的两底面对角线,的长分别为14cm和62cm. 分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水,水深均为12cm. 现有一根玻璃棒l,其长度为40cm.（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计） （1）将放在容器Ⅰ中,的一端置于点A处,另一端置于侧棱上,求没入水中部分的长度； （2）将放在容器Ⅱ中,的一端置于点E处，另一端置于侧棱上，求没入水中部分的长度. 一、解函数应用问题的步骤 (1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型； (2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型； (3)解模：求解数学模型，得出数学结论； (4)还原：将数学问题还原为实际问题的意义. 以上过程用框图表示如下： 二、在求实际问题中的最大值或最小值时，一般先设自变量、因变量、建立函数关系式，并确定其定义域，利用求函数最值的方法求解，注意结果应与实际情况相符合.用导数求解实际问题中的最大(小)值，如果函数在区间内只有一个极值点，那么根据实际意义该极值点就是最值点. 对应用题的训练，一般从读题、审题、剖析题目、寻找切入点等方面进行强化，注重培养将文字语言转化为数学语言的能力，强化构建数学模型的几种方法.而江苏高考的应用题往往需结合导数知识解决相应的最值问题，因此掌握利用导数求最值方法是一项基本要求，需熟练掌握. 题型一、有几何或者几何体有关的问题 以几何为载体的应用题常见与圆、扇形等特色的图形，此类问题的关键是把各个线段表示出来，进二列出函数的解析式，与几何体有关的导数问题，常常涉及到表面积与体积的问题，解题关键就是通过引入参数表示表面积或者体积，然后运用导数进行求解。 例1、（江苏省如皋、如东2019-2020学年度第一学期期中考试高三数学）如图，有一块半圆形空地，开发商计划建造一个矩形游泳池及左右两侧两个大小相同的矩形休息区，其中半圆的圆心为，半径为，矩形的一边在上，矩形 的一边在上，点在圆周上，在直径上，且，设．若每平方米游泳池的造价与休息区造价之比为. （1）记游泳池及休息区的总造价为，求的表达式； （2）为进行投资预算，当为何值时，总造价最大？并求出总造价的最大值. 例2、（江苏省镇江八校2019_2020学年上学期2020届高三第二次大联考数学试卷）某校要在一条水泥路边安装路灯，其中灯杆的设计如图所示，为地面，为路灯灯杆，，，在处安装路灯，且路灯的照明张角．已知． （1）当重合时，求路灯在路面的照明宽度； （2）求此路灯在路面上的照明宽度的最小值． 例3、（江苏省启东市2020届高三上学期期中考试数学试题）如图，某登山队在山脚处测得山顶的仰角为，沿倾斜角为（其中）的斜坡前进km后到达处，休息后继续行驶km到达山顶. （1）求山的高度； （2）现山顶处有一塔km. 从到的登山途中，队员在点处测得塔的视角为（）.若点处高度km,则为何值时，视角最大？ 题型二 生产、生活中的利润问题 与利润有关的问题关键是要认真审题，只有在审题的基础上才可以正确列出函数的解析式，要特别注意函数的定义域和单位的统一。 例4、（江苏省淮阴中学2020届高三期初测试）.为美化校园，江苏省淮阴中学将一个半圆形的边角地改造为花园. 如图所示，O为圆心，半