第10期 3.1一元一次方程及其解法.-2019-2020学年七年级上册初一数学《数理报》沪科版

书书书 对于一些一元一次方程，若能根据方程自身的结构 特点灵活变形，则可使解题过程变得简单快捷，从而收 到事半功倍的效果．现举例说明如下，供同学们参考． 一、直接移项 例１　解方程：１４１１ｘ＋ ３ ７ ＝ ３ １１ｘ－ ４ ７． 解析：不难发现，方程的四个分母中只涉及两个数 １１和７，可以直接移项去掉分母． 移项，得 １４ １１ｘ－ ３ １１ｘ＝－ ４ ７－ ３ ７． 合并同类项，得ｘ＝－１． 点评：解决本题时，根据方程的结构特点，先移项， 再合并同类项即可轻松得解． 二、用分数的基本性质去分母 例２　解方程：２ｘ＋１０．２５－ ｘ－２ ０．５ ＝－１０． 解析：观察方程中两个分母的特点，注意到“０．２５× ４＝１，０．５×２＝１”，于是可利用分数的基本性质，将方 程左边第一项的分子、分母同乘４，第二项的分子、分母 同乘２进行变形，这样可以轻松去掉分母． 将方程左边第一项的分子、分母同乘４，第二项的分 子、分母同乘２，得４（２ｘ＋１）－２（ｘ－２）＝－１０． 去括号，得８ｘ＋４－２ｘ＋４＝－１０． 移项、合并同类项，得６ｘ＝－１８． 系数化为１，得ｘ＝－３． 点评：当方程的分母中含有小数时，若直接去分母， 则计算很繁琐；若能利用分数的基本性质，将方程的分 母中的小数都转化成整数，则可使运算更简便． 三、逆用分数的通分法则 例３　解方程：ｘ＋２４ － ２ｘ－３ ６ ＝１． 解析：注意到 ２ ４与 － ３ ６之差为１，移项及合并同类 项可使方程右边为０，故不要急于去分母，可先逆用分数 的通分法则进行化简． 原方程可化为： ｘ ４＋ １ ２－ ｘ ３＋ １ ２ ＝１． 移项、合并同类项，得（ １ ４－ １ ３）ｘ＝０． 解得ｘ＝０． 点评：本题通过逆用分数的通分法则，可把原方程 转化为一个形式更为简单易解的方程． 四、移项后整体合并 例４　解方程：３（ｘ＋１）－１３（ｘ－１）＝２（ｘ－１）－ １ ２（ｘ＋１）． 解析：本题直接采用去分母、去括号求解也未尝不 可，但仔细观察发现，方程两边均含有ｘ＋１，ｘ－１，可以 将ｘ＋１与ｘ－１分别看成一个整体，先进行移项，再整体 合并，可使求解过程简捷． 移项，得３（ｘ＋１）＋１２（ｘ＋１）＝２（ｘ－１）＋ １ ３（ｘ －１）． 合并同类项，得 ７ ２（ｘ＋１）＝ ７ ３（ｘ－１）． 去分母，得３（ｘ＋１）＝２（ｘ－１）． 去括号，得３ｘ＋３＝２ｘ－２． 移项、合并同类项，得ｘ＝－５． 点评：整体思想是从整体出发，发现问题的整体结 构特征，把某些式子看成一个整体，把握它们之间的关 联性，从而有目的、有意识地整体处理． 书书书 小明已经学习了等式 的基本性质，在解决相关问 题时发现了一些奇怪的现 象．下面让我们跟随小明共 同探索这些奇怪现象吧！ 怪事一 在有理数中，我们学 过的运算有加、减、乘、除、 乘方这五种，而在等式的 基本性质１和等式的基本 性质２中，加、减、乘、除都 体现了，怎么没有出现乘 方呢？那么将等式两边同时 乘方会是怎样的结果呢？ 怪事二 如果ｘ＝ｙ，那么 ｘａ＝ ｙ ａ，这里需要添加条件 ａ≠０，等式才能成立；如果 ｘ ａ ＝ ｙａ，那么ｘ＝ｙ，这里不需要添加条件ａ≠０，等式也 成立，这是为什么呢？ 怪事三 如果ａ＝ｂ，那么ａ＋１＝ｂ＋１，如果ａ＋１＝ｂ＋１， 那么ａ＝ｂ；如果ａ＝ｂ，那么 ａ３ ＝ ｂ ３，如果 ａ ３ ＝ ｂ ３，那 么ａ＝ｂ都是正确的．但如果ａ＝ｂ，那么ａ２ ＝ｂ２是正 确的，而如果ａ２＝ｂ２，那么ａ＝ｂ就是错误的，这又是为 什么呢？ 请同学们认真探讨分析小明发现的这些等式的基本 性质中的“怪事”，相信同学们一定会找到这其中的奥妙． 书书书 我们在解题过程中，有许多看似与一元一次方程无 关的问题，可以根据题目的特点，结合数学中的相关知 识，通过一元一次方程“搭桥”，就能快速、准确地求解． 一、通过一元一次方程的定义“搭桥” 例１　如果 １３ｘ ２－ｎ－１＝０是关于ｘ的一元一次方 程，那么ｎ的值为 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．０　 Ｂ．１ Ｃ．１２ Ｄ． ３ ２ 分析：只含有一个未知数（元），未知数的次数都是 １，且等号两边都是整式的方程叫做一元一次方程．由此 定义可以得出关于ｎ的一元一次方程，解之即可． 解：由题意，得２－ｎ＝１．解得ｎ＝１．故选Ｂ． 例２　若（ａ＋５）ｘ２＋（ｂ－２）ｘｃ－１－６＝１是关于ｘ 的一元一次方程，则 ａ＝ ，ｂ≠ ，ｃ＝ ． 分析：本题从多个方面考查同学们对一元一次方程 的理解．因为方程中出现了二次项，所以要使方程是一 元一次方程，此二次项就不能存在，即ａ＋５＝０．这样就 可以求出ａ的值．同时ｂ，ｃ应满足ｂ－２≠０，ｃ－１＝１． 从而求出ｂ，ｃ的值即可． 解：由题意，得ａ＋５＝０，ｂ－２≠０，ｃ－１＝１