第13期 3.4二元一次方程组的应用3.5三元一次方程组及其解法-2019-2020学年七年级上册初一数学《数理报》沪科版

书书书 设元是列方程（组）解 应用题的首要问题，若设元 恰当，则易列方程，解题简 捷．常用的设元方法有四 种：１．直接设元，即求什么 设什么，求几个设几个；２． 间接设元，即把所求的相关 量设为元，再利用相关量的 值求出所要求的量；３．少设 元，即设的元少于所求量的 个数，既可直接少设元，又 可间接少设元；４．多设元， 即设的元多于所求量的个 数，这些多余的元起着桥梁 的作用．就具体题目来说用 什么方法设元好，要因题而 异．当然，一个题目往往有 多种设元，不同列式，但只 要思路正确，一定会殊路同 归． 【题目】向阳中学订阅 《青少年阅读报》的人数逐 年增加．去年订全年比订半 年的多５０份，今年订全年比订半年的多９５份，并且今年 订全年的比去年高１５％，订半年的比去年低１０％，求该 校去年订全年与订半年的各是多少份？ 思路分析：本题有四个未知量，四个等量关系，根据 等量关系，我们可有以下解法： 解法一：（直接设元）设该校去年订全年的 ｘ份，半 年的ｙ份． 则今年订全年的 ｘ（１＋１５％）份，半年的 ｙ（１－ １０％）份． 根据题意，得 ｘ－ｙ＝５０， ｘ（１＋１５％）－ｙ（１－１０％）＝９５{ ． 解得 ｘ＝２００， ｙ＝１５０{ ． 答：该校去年订全年的２００份，订半年的１５０份． 解法二：（间接设元）设该校今年订全年的 ｘ份，半 年的ｙ份． 则去年订全年的 ｘ １＋１５％份，半年的 ｙ １－１０％份． 根据题意，得 ｘ－ｙ＝９５， ｘ １＋１５％ － ｙ １－１０％ ＝５０ { ． 解得 ｘ＝２３０， ｙ＝１３５{ ． 所以 ｘ １＋１５％ ＝２００， ｙ １－１０％ ＝１５０． 答：该校去年订全年的２００份，订半年的１５０份． 解法三：（直接少设元）设该校去年订全年的ｘ份． 则今年订全年的 ｘ（１＋１５％）份，去年订半年的 （ｘ－５０）份，今年订半年的（ｘ－５０）（１－１０％）份． 根据题意，得 ｘ（１＋１５％）－（ｘ－５０）（１－１０％）＝９５． 解得ｘ＝２００． 所以ｘ－５０＝１５０． 答：该校去年订全年的２００份，订半年的１５０份． 解法四：（间接少设元）设该校今年订全年的ｘ份． 则今年订半年的（ｘ－９５）份，去年订全年的 ｘ １＋１５％份，去年订半年的 ｘ－９５ １－１０％份． 根据题意，得 ｘ １＋１５％ － ｘ－９５ １－１０％ ＝５０． 解得ｘ＝２３０． 所以 ｘ １＋１５％ ＝２００， ｘ－９５ １－１０％ ＝１５０． 答：该校去年订全年的２００份，订半年的１５０份． 解法五：（多设元）设该校去年订全年的 ｘ份，半年 的ｙ份，今年订全年的ｍ份，半年的ｎ份． 根据题意，得 ｘ－ｙ＝５０， ｍ－ｎ＝９５， ｍ＝ｘ（１＋１５％）， ｎ＝ｙ（１－１０％） { ． 解得 ｘ＝２００， ｙ＝１５０{ ． 答：该校去年订全年的２００份，订半年的１５０份． 书书书 一、在方程中的应用 例１　某电视台在黄金时段的２分钟广告时间内， 计划插播长度分别为１５秒和２０秒的两种广告．１５秒广 告每播 １次收费 ０．６万元，２０秒广告每播 １次收费 ０．８万元．若要求每种广告播放都不少于１次，且２分钟 广告时间恰好全部用完．问：两种广告的播放次数有几 种安排方式？每种安排方式的收益分别为多少万元？ 解析：根据播放１５秒广告的时间 ＋播放２０秒广告 的时间 ＝２×６０秒，可列出方程组求解．根据得到的安 排方式，分别求出每种安排方式的总收益．注意每种广 告的播放次数都是不小于１的整数． 设播放１５秒广告为ｘ次，播放２０秒广告为ｙ次． 根据题意，得１５ｘ＋２０ｙ＝１２０． 将其变形为ｙ＝６－３ｘ４． 因为ｘ，ｙ均为不小于１的整数， 所以 ｘ＝４， ｙ＝３{ ． 所以只有１种安排方式，即播放１５秒广告的次数是 ４次，播放２０秒广告的次数是３次． 这种安排方式的收益为：０．６×４＋０．８×３＝４．８（万元）． 二、在方程组中的应用 例２　一百文钱买一百只鸡，大鸡每只八文钱，小 鸡一文钱三只，三文钱一只是中鸡（三种鸡都买），请聪 明的你算算大、中、小鸡各几只？ 解析：根据题目中的叙述，找出等量关系，列出方程 组，求出其正整数解即可． 设大、中、小鸡分别为ｘ只，ｙ只，ｚ只． 根据题意，得 ｘ＋ｙ＋ｚ＝１００， ８ｘ＋３ｙ＋１３ｚ＝１００ { ． 消去ｚ，得２３ｘ＋８ｙ＝２００． 将其变形为ｙ＝２５－２３８ｘ． 因为ｘ，ｙ均为正整数， 所以 ｘ＝８， ｙ＝２{ ． 当ｘ＝８，ｙ＝２时，ｚ＝９０． 所以大、中、小鸡分别为８只，２只，９０只． 三、在设计方案中的应用 例３　某单位新盖了座楼房，要从相距１３２米处的 自来水主管道铺设水管，现有８米长与５米长的两种规 格的水管可供选用．请你设计一个方案，如何选取这两 种水管，才能恰好从主管道铺设到这座楼房