2020版《高分宝典》高考数学二轮微专题复习（江苏专用）热点难点微专题十恒成立和存在性问题 (共3份打包)

热点难点微专题十　恒成立和存在性问题 函数中经常出现恒成立和存在性问题，它能够很好地考察函数、不等式等知识以及转化与化归等数学思想，因此备受命题者青睐，在高考中频频出现，也是高考中的一个难点问题． 例1　已知函数f(x)＝ax2－lnx(a为常数)． (1) 当a＝时，求f(x)的单调减区间； (2) 若a<0，且对任意的x∈[1，e]，f(x)≥(a－2)x恒成立，求实数a的取值范围． 点评： 例2　已知函数f(x)＝mx－alnx－m，g(x)＝，其中m，a均为实数． (1) 求g(x)的极值； (2) 设m＝1，a<0，若对任意的x1，x2∈[3,4](x1≠x2)，|f(x2)－f(x1)|<恒成立，求a的最小值． 点评： 例3　已知函数f(x)＝mlnx－x(m∈R)，g(x)＝2cos2x＋sinx＋a. (1) 求函数f(x)的单调区间； (2) 当m＝时，对于任意x1∈，总存在x2∈，使得f(x1)≤g(x2)成立，求实数a的取值范围． 点评： 【思维变式题组训练】 1. 已知函数(x＋1)lnx－ax＋a≥0在x∈[1，＋∞)恒成立，求a的取值范围． 2. 已知e为自然对数的底数，函数f(x)＝ex－ax2的图象恒在直线y＝ax上方，求实数a的取值范围． 3. 已知函数f(x)＝(a＋1)lnx＋ax2＋1. (1) 试讨论函数f(x)的单调性； (2) 设a<－1，如果对任意x1，x2∈(0，＋∞)，|f(x1)－f(x2)|≥4|x1－x2|，求实数a的取值范围． $$第*页 热点难点微专题十　恒成立和存在性问题 专题综述 典型例题 　课后作业　 热点难点微专题十　恒成立和存在性问题 第*页 热点难点微专题十　恒成立和存在性问题 专题综述 典型例题 　课后作业　 课 时 作 业 专 题 综 述 函数中经常出现恒成立和存在性问题，它能够很好地考察函数、不等式等知识以及转化与化归等数学思想，因此备受命题者青睐，在高考中频频出现，也是高考中的一个难点问题． 第*页 热点难点微专题十　恒成立和存在性问题 专题综述 典型例题 　课后作业　 课 时 作 业 典 型 例 题 例1　已知函数f(x)＝ax2－lnx(a为常数)． (1) 当a＝eq \f(1,2)时，求f(x)的单调减区间； (2) 若a<0，且对任意的x∈[1，e]，f(x)≥(a－2)x恒成立，求实数a的取值范围． 第*页 热点难点微专题十　恒成立和存在性问题 专题综述 典型例题 　课后作业　 解析：(1) f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝2ax－eq \f(1,x)＝eq \f(2ax2－1,x).当a＝eq \f(1,2)时，f′(x)＝eq \f(x2－1,x). 由f′(x)<0及x>0，解得0<x<1，所以函数f(x)的单调减区间为(0,1)． 第*页 热点难点微专题十　恒成立和存在性问题 专题综述 典型例题 　课后作业　 (2) 解法一：设F(x)＝f(x)－(a－2)x＝ax2－lnx－(a－2)x. 因为对任意的x∈[1，e]，f(x)≥(a－2)x恒成立，所以F(x)≥0恒成立． F′(x)＝2ax－eq \f(1,x)－(a－2)＝eq \f(2ax2－a－2x－1,x)＝eq \f(ax＋12x－1,x). 因为a<0，令F′(x)＝0，得x1＝－eq \f(1,a)，x2＝eq \f(1,2)<1. 第*页 热点难点微专题十　恒成立和存在性问题 专题综述 典型例题 　课后作业　 ① 当0<－eq \f(1,a)≤1，即a≤－1时，因为x∈(1，e)时，F′(x)<0，所以F(x)在(1，e)上单调递减． 因为对任意的x∈[1，e]，F(x)≥0恒成立，所以x∈[1，e]时，F(x)min＝F(e)≥0， 即ae2－1－(a－2)e≥0，得a≥eq \f(1－2e,e2－e).因为eq \f(1－2e,e2－e)>－1.所以此时a不存在． 第*页 热点难点微专题十　恒成立和存在性问题 专题综述 典型例题 　课后作业　 ② 当1<－eq \f(1,a)<e，即－1<a<－eq \f(1,e)时，因为x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－\f(1,a)))时，F′(x)>0，x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,a)，e))时，F′(x)<0，所以F(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－\f(1,a)))上单调递增，在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,a)，e))上单调递减．因为对任意的x∈[1，e]，F(x)≥0恒