专题11 三角恒等变换与解三角形（考题精讲）-2020年高考二轮高频漏分知识点讲练手册（选填部分）

专题11 三角恒等变换与解三角形-考题精讲 抓牢常考点——解三角形及其应用 1．正、余弦定理的常用变形 正弦定理 a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C； sin A＝，sin B＝，sin C＝； a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C； asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A； ＝2R 余弦定理 cos A＝； cos B＝； cos C＝ 2．三角形的面积公式 (1)S△ABC＝absin C＝bcsin A＝acsin B. (2)S△ABC＝(R为其外接圆半径)． (3)S△ABC＝(a＋b＋c)r(r为其内切圆半径)． [题组突破] 1．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若c＝2a，bsin B－asin A＝asin C，则sin B的值为(　　) A.　　　　　　　　　　　 B. C. D. 2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，cos 2A＝sin A，bc＝2，则△ABC的面积为(　　) A. B. C．1 D．2 3．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2bcos B＝acos C＋ccos A，则B＝________. 4．如图，小明同学在山顶A处观测到一辆汽车在一条水平的公路上沿直线匀速行驶，小明在A处测得公 路上B，C两点的俯角分别为30°，45°，且∠BAC＝135°.若山高AD＝100 m，汽车从B点到C点历时14 s，则这辆汽车的速度约为________ m/s(精确到0.1)． 参考数据： ≈1.414, ≈2.236. [解题方略] (1)解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则考虑两个定理都有可能用到． (2)关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正弦、余弦定理及有关三角形的性质，常见的三角恒等变换方法和原则都适用，同时要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”．　 拿下重难点——三角形中的范围(或最值)问题 任何范围问题，其本质都是函数问题，三角形的范围或最值问题也不例外.三角形中的范围或最值问题的解法主要有两种：一是用函数求解，二是利用基本不等式求解.由于三角形中的范围问题一般是以角为自变量的三角函数问题，所以，除遵循函数问题的基本要求外，还有自己独特的解法. 考法(一)　与边或角有关的范围(最值)问题 [典例]　(1)在△ABC中，a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且BC边上的高为a，则＋取得最大值时，内角A的值为(　　) A.　　　　　　　　 B. C. D. (2)在平面四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝75°，BC＝2，则AB的取值范围是________． [解题方略] 三角形中范围问题的解决方法 求解某个量(式子)的取值范围是命题的热点，主要形式和解决方法有： 要建立所求式子与已知角或边的关系，然后把角或边作为自变量，所求式子的值作为函数值，转化为函数关系，将原问题转化为求函数的值域问题．这里要利用条件中的范围限制，以及三角形自身范围限制，要尽量把角或边的范围(也就是函数的定义域)找完善，避免结果的范围过大．　 [针对训练] 1．若满足条件AB＝，C＝的三角形ABC有两个，则边长BC的取值范围是(　　) A．(1，) B．(，) C．(，2) D．(，2) 2在△ABC中，∠ACB＝60°，BC＞1，AC＝AB＋，当△ABC的周长最短时，BC的长是________． 考法(二)　与面积有关的范围(或最值)问题 [典例]　(1)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，b＝c且＝，若点O是△ABC外一点，∠AOB＝θ(0＜θ ＜π)，OA＝2，OB＝1，则平面四边形OACB面积的最大值是(　　) A. B. C．3 D. (2)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知sin A－sin B＝sin C,3b＝2a,2≤a2＋ac≤18，设△ABC的面积为S，p＝a－S，则p的最大值是(　　) A. B. C. D. 　[解题方略] 求解三角形中面积的范围(或最值)问题的方法 一般要由题目已知条件(三角恒等关系式、边角大小等)结合正、余弦定理，先得到面积的表达式，再通过基本不等式、三角函数的最值等方法求得面积的最值或范围．　 [针对训练] 1．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，tan A＝，a＝4，则△ABC的面积的最大值为(　　) A．4 B．6 C．8 D．12 2．已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b