专题06 平面向量的应用-巅峰冲刺2020年高考数学二轮专项提升（江苏）

第6讲 平面向量的应用 1、【2019年高考江苏卷】如图，在中，D是BC的中点，E在边AB上，BE=2EA，AD与CE交于点.若，则的值是_____. 2、【2019年高考浙江卷】已知正方形的边长为1，当每个取遍时，的最小值是________；最大值是_______. 3、【2019年高考北京卷文数】已知向量=（–4，3），=（6，m），且，则m=__________． 4、【2019年高考全国III卷文数】已知向量，则___________. 5、【2019年高考天津卷文数】在四边形中，，点在线段的延长线上，且，则_____________． 6、【2018年高考江苏卷】在平面直角坐标系中，为直线上在第一象限内的点，，以为直径的圆与直线交于另一点．若，则点的横坐标为___________． 1.向量的有关概念 名称 定义 备注 向量 既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模) 平面向量是自由向量 零向量 长度为0的向量其方向是任意的 记作0 单位向量 长度等于1个单位长度的向量 非零向量a的单位向量为± 平行向量 方向相同或相反的非零向量 0与任一向量平行或共线 共线向量 方向相同或相反的非零向量又叫做共线向量 相等向量 长度相等且方向相同的向量 两向量只有相等或不等，不能比较大小 相反向量 长度相等且方向相反的向量 0的相反向量为0 2.向量的线性运算 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 向量的加法 求两个向量和的运算 (1)交换律：a＋b＝b＋a. (2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c). 向量的减法 求两个向量差的运算 三角形法则 a－b＝a＋(－b) 数乘 求实数λ与向量a的积的运算 (1)|λa|＝|λ||a|； (2)当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0 λ(μa)＝(λμ)a； (λ＋μ)a＝λa＋μa； λ(a＋b)＝λa＋λb 3.向量共线定理 如果有一个实数λ，使b＝λa(a≠0)，那么b与a是共线向量；反之，如果b与a(a≠0)是共线向量，那么有且只有一个实数λ，使b＝λa. 4、平面向量基本定理 （1）平面向量基本定理的本质是运用向量加法的平行四边形法则，将向量进行分解. 向量的坐标表示的本质是向量的代数表示，其中坐标运算法则是运算的关键. （2）平面向量共线的坐标表示 两向量平行的充要条件 若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是a＝λb，这与x1y2－x2y1＝0在本质上是没有差异的，只是形式上不同. （3）三点共线的判断方法： 判断三点是否共线，先求由三点组成的任两个向量，然后再按两向量共线进行判定. 失误与防范 要区分点的坐标和向量的坐标，向量坐标中包含向量大小和方向两种信息；两个向量共线有方向相同、相反两种情况. 若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件不能表示成＝，因为x2，y2有可能等于0，所以应表示为x1y2－x2y1＝0. 5、平面向量的数量积 已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cos θ叫做向量a和b的数量积(或内积)，记作a·b＝|a||b|cos θ. 规定：零向量与任一向量的数量积为0. 两个非零向量a与b垂直的充要条件是a·b＝0，两个非零向量a与b平行的充要条件是a·b＝±|a||b|. 6、平面向量数量积的几何意义 数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积. 7、平面向量数量积的重要性质 (1)e·a＝a·e＝|a|cos θ； (2)非零向量a，b，a⊥b⇔a·b＝0； (3)当a与b同向时，a·b＝|a||b|； 当a与b反向时，a·b＝－|a||b|，a·a＝a2，|a|＝； (4)cos θ＝； (5)|a·b|≤|a||b|. 8、平面向量数量积满足的运算律 (1)a·b＝b·a(交换律)； (2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(λ为实数)； (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c. 9、平面向量数量积有关性质的坐标表示 设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2，由此得到 (1)若a＝(x，y)，则|a|2＝x2＋y2或|a|＝. (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A、B两点间的距离|AB|＝||＝. (3)设两个非零向量a，b，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0. 10、主要问题归类与方法： 1）几何图形中的向量关系与计算问题 方法1：基底法，选择适当的基底，把所研究的向量用基底表示；