专题07 立体几何综合问题（答题指导）-2020年高考数学解答题核心素养题型突破

专题07 立体几何综合问题（答题指导） 【题型解读】 题型特点 命题趋势 　　从近几年的高考试题来看，立体几何是高考解答题的必考内容，主要考查的热点题型是线面位置关系与体积计算、平面图形的折叠，探索开放性问题等，题目难度中等，题型规范，方法可循. 1.线、面的平行与垂直关系是考查的热点，通过空间几何体的体积计算，考查学生的空间想象能力． 2．平面图形折叠成空间几何体． 3．是否存在某点或某参数，使得某种线、面位置关系成立问题. ▶▶题型一　空间点、线、面的位置关系及空间角的计算 (1)空间点、线、面的位置关系通常考查平行、垂直关系的证明，一般出现在解答题的第(1)问，解答题的第(2)问常考查求空间角，求空间角一般都可以建立空间直角坐标系，用空间向量的坐标运算求解． (2)利用向量求空间角的步骤： 第一步：建立空间直角坐标系； 第二步：确定点的坐标； 第三步：求向量(直线的方向向量、平面的法向量)坐标； 第四步：计算向量的夹角(或函数值)； 第五步：将向量夹角转化为所求的空间角； 第六步：反思回顾．查看关键点、易错点和答题规范． 【例1】 (2019·河南郑州高三联考)在如图所示的多面体中，四边形ABCD是平行四边形，四边形BDEF是矩形，ED⊥平面ABCD，∠ABD＝，AB＝2AD. (1)求证：平面BDEF⊥平面ADE； (2)若ED＝BD，求直线AF与平面AEC所成角的正弦值． 【素养解读】　　 本例问题(1)证明两平面垂直，考查了逻辑推理的核心素养；问题(2)计算线面所成的角时，考查了直观想象和数学运算的核心素养． 【突破训练1】 (2018·北京卷)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，D，E，F，G分别为AA1，AC，A1C1，BB1的中点，AB＝BC＝ ，AC＝AA1＝2. (1)求证：AC⊥平面BEF； (2)求二面角B－CD－C1的余弦值； (3)证明：直线FG与平面BCD相交． ▶▶题型二　平面图形折叠成空间几何体的问题 1．先将平面图形折叠成空间几何体，再以其为载体研究其中的线、面间的位置关系与计算有关的几何量是近几年高考考查立体几何的一类重要考向，它很好地将平面图形拓展成空间图形，同时也为空间立体图形向平面图形转化提供了具体形象的途径，是高考深层次上考查空间想象能力的主要方向． 2．(1)解决与折叠有关的问题的关键是搞清折叠前后的变化量和不变量．一般情况下，长度是不变量，而位置关系往往会发生变化，抓住不变量是解决问题的突破口． (2)在解决问题时，要综合考虑折叠前后的图形，既要分析折叠后的图形，也要分析折叠前的图形． (3)解决翻折问题的答题步骤 第一步：确定折叠前后的各量之间的关系，搞清折叠前后的变化量和不变量；第二步：在折叠后的图形中确定线和面的位置关系，明确需要用到的线面；第三步：利用判定定理或性质定理进行证明． 【例2】 (2018·全国卷Ⅰ)如图，四边形ABCD为正方形，E，F分别为AD，BC的中点，以DF为折痕把△DFC折起，使点C到达点P的位置，且PF⊥BF. (1)证明：平面PEF⊥平面ABFD； (2)求DP与平面ABFD所成角的正弦值． 【素养解读】　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　 本例在证明或计算过程中都要考虑图形翻折前后的变化，因此综合考查了逻辑推理、数学运算、直观想象、数学建模的核心素养． 【突破训练2】 如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝，AB＝BC＝1，AD＝2，E是AD的中点，O是AC与BE的交点，将△ABE沿BE折起到△A1BE的位置，如图2. (1)证明：CD⊥平面A1OC； (2)若平面A1BE⊥平面BCDE，求平面A1BC与平面A1CD所成锐二面角的余弦值． ▶▶题型三　线、面位置关系中的探索性问题 是否存在某点或某参数，使得某种线、面位置关系成立问题，是近几年高考命题的热点，常以解答题中最后一问的形式出现，解决这类问题的基本思路类似于反证法，即“在假设存在的前提下通过推理论证，如果能找到符合要求的点(或其他的问题)，就肯定这个结论，如果在推理论证中出现矛盾，就说明假设不成立，从而否定这个结论”． 【例3】 (2018·全国卷Ⅱ)如图，在三棱锥P－ABC中，AB＝BC＝2 ，PA＝PB＝PC＝AC＝4，O为AC的中点． (1)证明：PO⊥平面ABC； (2)若点M在棱BC上，且二面角M－PA－C为30°，求PC与平面PAM所成角的正弦值． 【素养解读】　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　 本例问题(1)中证明线面垂直直接考查了逻辑推理的核心素养；问题(2)中要探求点M的位置，要求较高，它既考查了直观想象的核心素养，又考查了数学建模的核心素养． 【突破训练3】 如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，