专题01 函数与导数综合问题（答题指导）-2020年高考数学解答题核心素养题型突破

专题01 函数与导数综合问题（答题指导） 【题型解读】 题型特点 命题趋势 1.极值、最值、导数几何意义及单调性的综合问题． 2．利用导数研究不等式的综合问题. 1.以函数为载体，以导数为解题工具，主要考查函数的单调性、极值、最值问题的求法，以及参数的取值范围问题． 2．不等式的证明问题是高考考查的热点内容，常与不等式、二次函数等相联系．问题的解决通常采用构造新函数的方法. ▶▶题型一：利用导数研究函数的性质 以含参数的函数为载体，结合具体函数与导数的几何意义，研究函数的性质，是高考的热点．主要考查：(1)讨论函数的单调性和单调区间；(2)求函数的极值或最值；(3)利用函数的单调性、极值、最值，求参数的范围． 【例1】 已知函数f(x)＝ax－－3ln x，其中a为常数． (1)当函数f(x)的图象在点处的切线的斜率为1时，求函数f(x)在上的最小值； (2)若函数f(x)在区间(0，＋∞)上既有极大值又有极小值，求a的取值范围． 【素养解读】 (1)从已知切线的斜率去求参数a的过程既考查了数学运算的核心素养，又考查了逻辑推理的核心素养． (2)将函数有极大值和极小值转化为一元二次方程的实数根的问题考查了数学建模的核心素养． (3)通过二次函数的图象与性质列出一元二次方程根的分布的充要条件考查了直观想象的核心素养． 【突破训练1】 已知函数f(x)＝ln x＋a(1－x)． (1)讨论f(x)的单调性； (2)当f(x)有最大值，且最大值大于2a－2时，求a的取值范围． 【突破训练2】 (2019·黄冈联考)已知函数f(x)＝x2＋aln x. (1)当a＝－2时，求函数f(x)的单调区间； (2)若g(x)＝f(x)＋在[1，＋∞)上是单调函数，求实数a的取值范围． ▶▶题型二：利用导数研究函数的零点或曲线交点问题 导数与函数、方程交汇是近年命题的热点，常转化为研究函数图象的交点问题，研究函数的极(最)值的正负．主要考查：(1)确定函数的零点、图象交点的个数；(2)由函数的零点、图象交点的情况求参数的取值范围． 【例2】 (2018·全国卷Ⅱ)已知函数f(x)＝ex－ax2. (1)若a＝1，证明：当x≥0时，f(x)≥1； (2)若f(x)在(0，＋∞)只有一个零点，求a. 【素养解读】 (1)在问题(1)的证明过程中，考查了逻辑推理的核心素养． (2)在问题(2)中，通过对参数a的分类讨论以及在不同的取值范围内列式计算的过程中考查了数学运算的核心素养． 【突破训练3】 已知二次函数f(x)的最小值为－4，且关于x的不等式f(x)≤0的解集为{x|－1≤x≤3}． (1)求函数f(x)的解析式； (2)求函数g(x)＝－4ln x的零点个数． 【突破训练4】 (2019·黄冈起点考试)已知函数f(x)＝x2－2ln x，h(x)＝x2－x＋a. (1)求函数f(x)的极值； (2)设函数k(x)＝f(x)－h(x)，若函数k(x)在[1,3]上恰有两个不同的零点，求实数a的取值范围． ▶▶题型三：利用导数研究不等式问题 导数在不等式中的应用问题是每年高考的必考内容，难度较大．主要考查证明不等式和不等式成立(恒成立)问题． (1)利用导数证明不等式的方法 可以从所证不等式的结构和特点出发，结合已有的知识利用转化与化归思想，构造一个新的函数，再借助导数确定函数的单调性，利用单调性实现问题的转化，从而使不等式得到证明，其一般步骤是：构造可导函数→研究单调性或最值→得出不等关系→整理得出结论． (2)利用导数研究不等式恒成立问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题． (3)不等式能成立(恒成立)问题常见的转化方法 ①f(x)≥a恒成立⇔f(x)min≥a，f(x)≥a能成立⇔f(x)max≥a； ②f(x)≤b恒成立⇔f(x)max≤b，f(x)≤b能成立⇔f(x)min≤b； ③f(x)>g(x)恒成立⇔F(x)min>0； ④∀x1∈M，∀x2∈N，f(x1)>g(x2)⇔f(x)min>g(x)max； ⑤∀x1∈M，∃x2∈N，f(x1)>g(x2)⇔f(x)min>g(x)min； ⑥∃x1∈M，∃x2∈N，f(x1)>g(x2)⇔f(x)max>g(x)min； ⑦∃x1∈M，∀x2∈N，f(x1)>g(x2)⇔f(x)max>g(x)max. 【例3】 (2018·浙江卷节选)已知函数f(x)＝ －ln x．若f(x)在x＝x1，x2(x1≠x2)处导数相等，证明：f(x1)＋f(x2)＞8－8ln2. 【素养解读】 本题的证明过程不仅考查了逻辑推理的核心素养，还在构造函数g(x)＝－