专题05 数列的综合问题（答题指导）-2020年高考数学解答题核心素养题型突破

专题05 数列的综合问题（答题指导） 【题型解读】 题型特点 命题趋势 　　从近几年高考试题来看，全国卷中的数列问题与三角函数问题基本上交替考查，难度不大．对数列问题的考查主要集中在两个方面：一是以选择题和填空题的形式考查等差、等比数列的运算和性质，题目多为常规试题；二是等差、等比数列的通项与求和问题，有时结合函数、不等式等进行综合考查，涉及内容较为全面，试题题型规范、方法可循. 　　以数列为载体，综合不等式，考查推理与证明思想方法的应用，仍然是命题的关注点. ▶▶题型一　数列的通项与求和 数列的通项与求和是高考必考的热点题型，求通项属于基本问题，常涉及等差、等比数列的定义、性质、基本量运算．求和问题关键在于分析通项的结构特征，选择合适的求和方法，常考的求和方法有：错位相减法、裂项相消法、分组求和法等． 【例1】 Sn为数列的前n项和，已知an＞0，a＋2an＝4Sn＋3. (1)求的通项公式； (2)设bn＝，求数列的前n项和． 【素养解读】　　 本例(1)中由已知直接推导求出{an}的通项公式，体现了逻辑推理的核心素养；(2)中用裂项相消法求得{bn}的前n项和体现了数学抽象和数学运算的核心素养． 【突破训练1】 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若Sm－1＝－4，Sm＝0，Sm＋2＝14(m≥2，且m∈N*)． (1)求m的值； (2)若数列{bn}满足＝log2bn(n∈N*)，求数列{(an＋6)·bn}的前n项和． 【突破训练2】 (2019·湖南十二校一联)已知数列{an}满足a1＝1，a2＝4，an＋2＋2an＝3an＋1，n∈N*. (1)求数列{an}的通项公式； (2)记数列{an}的前n项和Sn，求使得Sn＞21－2n成立的最小整数n. ▶▶题型二　数列与函数的综合问题 1．数列是特殊的函数，以函数为背景的数列的综合问题体现了在知识交汇点上命题的特点，该类考题的知识综合性强，能很好地考查逻辑推理能力和运算求解能力，因而一直是高考命题者的首选． 2．数列与函数问题的解题技巧 (1)数列与函数的综合问题主要有以下两类：①已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般是利用函数的性质、图象，研究数列问题；②已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要充分利用数列的定义、公式、求和方法，对式子化简变形． (2)解题时要注意数列与函数的内在联系，灵活运用函数的思想方法求解，在问题的求解过程中往往会遇到递推数列，因此掌握递推数列的常用解法有助于该类问题的解决． 【例2】 已知数列{an}满足a1＝1，anan＋1＝2n，n∈N*. (1)若函数f(x)＝Asin(2x＋φ)(A＞0,0＜φ＜π)在x＝处取得最大值a4＋1，求函数f(x)在区间上的值域； (2)求数列{an}的通项公式． 【素养解读】　　 本例中将三角函数的性质与解析式求解与数列结合在一起，综合考查了数学运算和直观想象的核心素养． 【突破训练3】 已知首项为2的数列{an}的前n项和为Sn，若点(an＋1，Sn)在函数f(x)＝x－的图象上，设bn＝log2an. (1)判断数列{bn}是否为等差数列，并说明理由； (2)求数列的前n项和Tn. ▶▶题型三　数列与不等式的综合问题 1．数列与不等式的综合问题 数列与不等式知识相结合的考查方式主要有三种：一是判断数列问题中的一些不等关系；二是以数列为载体，考查不等式的恒成立问题；三是考查与数列问题有关的不等式的证明．在解决这些问题时，如果是证明题，要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合法、分析法等．如果是解不等式问题，要使用不等式的各种不同解法，如数轴法、因式分解法等． 2．数列中不等式的处理方法 (1)函数法：即构造函数，通过函数的单调性、极值等得出关于正实数的不等式，通过对关于正实数的不等式特殊赋值得出数列中的不等式． (2)放缩法：数列中不等式可以通过对中间过程或者最后的结果放缩得到．一般地，数列求和中的放缩的“目标数列”为“可求和数列”，如等比数列、可裂项相消求和的数列等． (3)比较法：作差比较或作商比较． 【例3】 已知数列{an}的首项为1，Sn为数列{an}的前n项和，Sn＋1＝qSn＋1，其中q>0，n∈N*. (1)若2a2，a3，a2＋2成等差数列，求数列{an}的通项公式； (2)设双曲线x2－＝1的离心率为en，且e2＝，证明：e1＋e2＋…＋en>. 【素养解读】　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　 本例(1)中直接计算通项公式考查了数学运算的核心素养；(2)中证明不等式采用了放缩法，考查了数学建模和逻辑推理的核心素养． 【突破训练4】 在等差数列{an}中，a2＝6，a3＋a6＝27. (1)求数列{an}的通项公式； (2)记数列{an}的前