专题05 正余弦定理的应用-巅峰冲刺2020年高考数学二轮专项提升（江苏）

专题05 正余弦定理的应用 1、【2019年高考全国Ⅱ卷文数】的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知bsinA+acosB=0，则B=___________. 2、【2019年高考浙江卷】在中，，，，点在线段上，若，则___________，___________． 3、【2019年高考江苏卷】在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c． （1）若a=3c，b=，cosB=，求c的值； （2）若，求的值． 4、【2019年高考江苏卷】如图，一个湖的边界是圆心为O的圆，湖的一侧有一条直线型公路l，湖上有桥AB（AB是圆O的直径）．规划在公路l上选两个点P、Q，并修建两段直线型道路PB、QA．规划要求：线段PB、QA上的所有点到点O的距离均不小于圆O的半径．已知点A、B到直线l的距离分别为AC和BD（C、D为垂足），测得AB=10，AC=6，BD=12（单位：百米）． （1）若道路PB与桥AB垂直，求道路PB的长； （2）在规划要求下，P和Q中能否有一个点选在D处？并说明理由； （3）在规划要求下，若道路PB和QA的长度均为d（单位：百米）.求当d最小时，P、Q两点间的距离． 5、【2019年高考全国Ⅲ卷文数】的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知． （1）求B； （2）若△ABC为锐角三角形，且c=1，求△ABC面积的取值范围． 6、【2019年高考北京卷文数】在△ABC中，a=3，，cosB=． （1）求b，c的值； （2）求sin（B+C）的值． 7、【2019年高考天津卷文数】在中，内角所对的边分别为.已知，. （1）求的值； （2）求的值. 一、正弦、余弦定理 1、在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则 定理 正弦定理 余弦定理 内容 ＝＝＝2R a2＝b2＋c2－2bccos A； b2＝c2＋a2－2cacos B； c2＝a2＋b2－2abcos C 变形 （1）a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C； (2)sin A＝，sin B＝，sin C＝； (3)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C； (4)asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A cos A＝； cos B＝； cos C＝ 2、S△ABC＝absin C＝bcsin A＝acsin B＝ 3、正余弦定理的作用： (1)．正弦定理的作用：边角互化问题，方法有： ①利用a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC将边化为角； ②利用cosA＝等将余弦化为边； ③ccosB＋bcosC＝a等化角为边． (2)．求边长问题，方法有：①利用正弦定理求边；② 利用余弦定理求边． 二、在△ABC中，已知a、b和A时，解的情况如下： A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系式 a＝bsin A bsin A<a<b a≥b a>b 解的个数 一解 两解 一解 一解 三、实际问题中的常用角 1、仰角和俯角：与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图①). (2)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°等. (3)方位角：指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②). (4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值. 四、注意点：1、解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则考虑两个定理都有可能用到.2.关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正弦、余弦定理及有关三角形的性质，常见的三角恒等变换方法和原则都适用，同时要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”. 题型一、运用正余弦定理解三角形的基本量 三角形的基本量主要是指变、角、面积等。解题时注意一下两点：(1)根据所给等式的结构特点利用正、余弦定理将角化边进行变形是迅速解答本题的关键.(2)熟练运用正、余弦定理及其推论，同时还要注意整体思想、方程思想在解题过程中的运用. 例1、(2019通州、海门、启东期末） 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若acosB＝3bcosA，B＝A－，则B＝________． 例2、(2019苏州三市、苏北四市二调）在△ABC中，已知C＝120°，sinB＝2sinA，且△ABC的面积为2，则AB的长为________． 例3、(2019镇江期末）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且ccosB＋bcosC＝3acos