专题20 平面向量的概念及线性运算-巅峰冲刺江苏省2020年高考数学一轮考点扫描（文理通用）

专题20 平面向量的概念及线性运算 【名师预测】 在江苏高考中，平面向量的概念及线性运算，主要考查平面向量的概念，加法、减法的运算，向量数乘运算及其几何意义。平面向量的线性运用是平面向量模块中比较重要的知识点，常与三角函数、解析几何交汇考查，有时也会有创新的新定义问题，平面向量的线性运算常以填空题为主，偶尔会在解答题中出现，是近几年江苏高考常考题型。 【知识精讲】 一、平面向量的相关概念 名称 定义 表示方法 注意事项 向量 既有大小又有方向的量叫做向量；向量的大小叫做向量的长度(或模) 向量或； 模或 平面向量是自由向量 零向量 长度等于0的向量，方向是任意的 记作 零向量的方向是任意的 单位向量 长度等于1个单位的向量 常用表示 非零向量的单位向量是 平行向量 方向相同或相反的非零向量 与共线可记为 与任一向量平行或共线 共线向量 平行向量又叫共线向量 相等向量 长度相等且方向相同的向量 两向量只有相等或不等，不能比较大小 相反向量 长度相等且方向相反的向量 的相反向量为 二、向量的线性运算 1．向量的加法、减法、数乘运算及其几何意义、运算律 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 加法 求两个向量和的运算 三角形法则 平行四边形法则 交换律：a＋b＝b＋a； 结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 减法 求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差 三角形法则 a－b＝a＋(－b) 数乘 求实数λ与向量a的积的运算 |λa|＝|λ||a|； 当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0 λ(μ a)＝(λμ)a； (λ＋μ)a＝λa＋μ a；　 λ(a＋b)＝λa＋λb 2．共线向量定理 向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一的一个实数λ，使得. 【注】限定a≠0的目的是保证实数λ的存在性和唯一性． 【典例精练】 考点一 平面向量的有关概念 例1．给出下列六个命题： ① 两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同； ②若|a|＝|b|，则a＝b； ③若，则A，B，C，D四点构成平行四边形； ④在平行四边形ABCD中，一定有； ⑤若m＝n，n＝p，则m＝p； ⑥若a∥b，b∥c，则a∥c. 其中错误的命题是________．(填序号) 例2．给出以下命题： ①对于实数p和向量a，b，恒有p(a－b)＝pa－pb； ②对于实数p，q和向量a，恒有(p－q)a＝pa－qa； ③若 pa＝pb(p∈R)，则a＝b； ④若pa＝qa(p，q∈R，a≠0)，则p＝q. 其中正确的命题是________．(填序号) 考点二 向量的线性运算 例3．在平行四边形ABCD中，E为线段BC的中点，若，则λ＋μ＝________. 例4．已知△ABC中，点D在BC边上，且，，则r＋s＝________. 例5．在等腰梯形ABCD中，，M为BC的中点，则________(用，表示)． 考点三 共线向量定理的应用 例6．如图，在△ABC中，∠A＝60°，∠A的平分线交BC于点D，若AB＝4，且 (λ∈R)，则AD的长为________． 例7．在△ABC中，N是AC边上一点且，P是BN上一点，若，则实数m的值是________． 例8．设两个非零向量a与b不共线， （1）若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)， 求证：A，B，D三点共线； （2）试确定实数k，使ka＋b和a＋kb同向． 【名校新题】 一、填空题 1．（2019·江阴期中）若a，b不共线，且a＋m b与2a－b共线，则实数m的值为________． 2．（2019·清江中学高考模拟）在平面四边形ABCD中，若E为BC的中点，AE＝2，DE＝3，则 ＝_______． 3．（2019·海门中学检测）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A，B，C三点满足＝＋，则＝________. 4．（2019·江苏启东中学高三开学考试）设点在所在平面内，若，则与的面积比为___. 5．（2019·张家港模拟）如图所示，向量，，的终点A，B，C在一条直线上，且＝－3，设＝a，＝b，＝c，若c＝ma＋nb，则m－n＝________. 6．（2019·常州调研）已知矩形ABCD的两条对角线交于点O，点E为线段AO的中点，若＝m＋n，则m＋n的值为________． 7．（2019·江苏高考模拟）如图，已知P是半径为2，圆心角为的一段圆弧AB上一点，，则的最小值为_______． 8．（2018·南京师大附中高三期中）在△ABC中，D，E分别是AC，AB的中点，，，，则的