人教B版高中数学必修2教学案：2.1.1数轴上的基本公式（教师版+学生版）

§2.1　平面直角坐标系中的基本公式 2．1.1　数轴上的基本公式 【学习要求】 1．理解实数与数轴上的点的对应关系，理解实数运算在数轴上的几何意义． 2．掌握数轴上两点间的距离公式． 3．掌握数轴上向量加法的坐标运算． 4．理解向量相等及零向量的概念． 【学法指导】 通过数轴上点与实数的一一对应关系拓展到数轴上向量与实数的一一对应关系，从而得到数轴上两点间的距离公式，为研究平面解析几何奠定扎实的基础. 填一填：知识要点、记下疑难点 1．数轴：一条给出了   原点       、   度量单位       和      正方向       的直线． 2．如果点P与实数x对应，则称点P的坐标为  x   ，记作   P(x)     ． 3．向量：位移是一个既有大小又有方向的量，通常叫做    位移向量          ，简称为  向量     ，从点A到点B的向量，记作|     .的    长度      ，记作    |.线段AB的长叫做向量 4．相等的向量：数轴上同向且    等长     的向量叫做相等的向量． 5．向量的坐标或数量：我们可用实数表示数轴上的一个向量的      坐标或数量         ，用AB表示．若O是原点，点A的坐标为x1，点B的坐标为x2，则AB＝OB－OA，所以AB＝x2－x1. ，这个实数叫做向量 6．数轴上两点AB间的距离公式为：d(A，B)＝     |x2－x1|         . 研一研：问题探究、课堂更高效 探究点一　直线坐标系 问题1　数轴是怎样定义的？ 问题2　实数集与数轴上的点有怎样的关系？ 例1　(1)如果点P(x)位于点M(－2)，N(3)之间，求x的取值范围； (2)试确定点A(x2＋x＋1)与B的位置关系． 小结:　根据数轴上点与实数的对应关系，数轴上的点自左到右对应的实数依次增大． 跟踪训练1　不在数轴上画点，判断下列各组点的位置关系(主要说明哪一个点位于另一个点的右侧)： (1)A(－1.5)，B(－3)； (2)A(a)，B(a2＋1)； (3)A(|x|)，B(x)． 探究点二　数轴上的向量 问题1　阅读教材65页～66页，回答什么是向量？如何表示？ 问题2　什么是向量的坐标或数量？ 问题3　如果把相等的所有向量看作一个整体，作为同一个向量，那么实数与数轴上的向量有什么关系？ 问题4　位移的和是怎样定义的？ 与位移 问题5　对数轴上任意三点A，B，C都具有什么关系？ 问题6　设是数轴上的任意一个向量，O为原点，A(x1)，B(x2)，那么AB如何用x1，x2表示？ 问题7　数轴上两点AB的距离公式是怎样的？ 例2　已知A、B、C是数轴上任意三点． (1)若AB＝5，CB＝3，求AC； (2)证明：AC＋CB＝AB. 小结:　本题的关键是结合条件联想到两个首尾相连的向量来表示，再运用相反向量的定义将之转化为已知条件，从而解决问题． 、可用 跟踪训练2　已知数轴上A、B两点的坐标分别为x1＝a＋b，x2＝a－b，求AB、BA. 例3　已知数轴上两点A(a)，B(5)．求：当a为何值时， (1)两点间距离为5? (2)两点间距离大于5? (3)两点间距离小于3? 小结:　一个实数的绝对值的几何意义是实数在数轴上的对应点到原点的距离． 跟踪训练3　已知M、N、P是数轴上三点，若|MN|＝5，|NP|＝3，求d(M，P)． 练一练：当堂检测、目标达成落实处 1．不在数轴上画点，确定下列各组点中，哪组中的点C位于点D的右侧 (　A　) A．C(－3)和D(－4) B．C(3)和D(4) C．C(－4)和D(3) D．C(－4)和D(－3) 2．下列说法正确的个数有 (　　) ①数轴上的向量的坐标一定是一个实数；②向量的坐标等于向量的长度；③向量的长度一样；④如果数轴上两个向量的坐标相等，那么这两个向量相等． 与向量 A．1 B．2 C．3 D．4 课堂小结： 1．相等的向量的起点与终点并不一定一致，可以通过平移将所有相等的向量视作同一个向量．因数轴上每一个向量的坐标为一个实数，如果把相等的所有向量看作一个整体，作为同一个向量，则实数与数轴上的向量之间是一一对应的． 2．重要结论：①对于数轴上任意三点A，B，C都有AC＝AB＋BC；②AB＝－BA或AB＋BA＝0. 3．向量与数量的区别与联系 向量是不同于数量的一种新的量．数量只有大小，没有方向，其大小可以用正数、负数或零来表示，它是一个代数量，可以进行各种代数运算；数量之间可以比较大小．向量是既有大小，又有方向的量；由于方向不能比较大小