人教B版高中数学必修2教学案：2.2.4点到直线的距离（教师版）

2.2.4　点到直线的距离 【学习要求】 1．了解点到直线距离公式的推导方法． 2．掌握点到直线距离公式，并能灵活应用于求平行线间的距离等问题． 3．初步掌握解析法研究几何问题的方法． 【学法指导】 通过点到直线距离及两平行线间距离公式的探究，领会寻找点到直线距离公式的思维过程以及推导方法，体验数形结合、转化的数学思想，培养研究、探索的能力. 填一填：知识要点、记下疑难点 1．点P(x0，y0)到直线Ax＋By＋C＝0的距离d＝. 2．设直线l1为Ax＋By＋C1＝0，直线l2为Ax＋By＋C2＝0(A，B不同时为0)，则两直线间的距离d＝. 研一研：问题探究、课堂更高效 [问题情境] 构成平面图形的基本元素为点和直线，就距离而言有两点之间的距离，点到直线的距离及两条直线之间的距离．我们已经学习了两点之间的距离，本节我们来研究点到直线的距离及两条直线之间的距离． 探究点一　点到直线的距离 问题1　两点间的距离公式是什么？ 答：已知点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则|P1P2|＝. 问题2　什么是平面上点到直线的距离？ 答：如图，P到直线l的距离，是指从点P到直线l的垂线段PQ的长度，其中Q是垂足． 问题3　你能说出求点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0距离的一个解题思路吗？ 答：由PQ⊥l，以及直线l的斜率为－，因此，垂线PQ的方程可求出．，可得l的垂线PQ的斜率为 解垂线PQ与直线l的方程组成的方程组，得点Q的坐标，用两点间距离公式求出|PQ|，即为点P到直线l距离． 问题4　问题3中求点P到直线l距离的思路十分自然，但具体运算需要一定的技巧，那么有没有更好的方法呢？ 答：有，求法如下：如图，设A≠0，B≠0，这时l与x轴、y轴都相交，过点P作x轴的平行线，交l于点R(x1，y0)；作y轴的平行线，交l于点S(x0，y2)，将R点坐标代入l的方程，得x1＝－.，|PS|＝|y0－y2|＝.于是有|PR|＝|x0－x1|＝，将S点坐标代入l的方程，得y2＝－ |RS|＝×|Ax0＋By0＋C|，由三角形面积公式可知d·|RS|＝|PR|·|PS|. ＝ 所以d＝.可证明，当A＝0，或B＝0，上述公式也成立． 小结：点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝. 例1　求点P(－1,2)到直线2x＋y＝5的距离d(如图所示)． 解：将直