专题2.4 圆锥曲线综合运用-2019-2020学年新高考数学选修系列题型详解（人教版）

专题2.4 圆锥曲线的综合运用 题型一 定值 【例1】（2019·上海高三月考）已知、是双曲线的两个顶点，点是双曲线上异于、的一点，为坐标原点，射线交椭圆于点，设直线、、、的斜率分别为、、、. （1）若双曲线的渐近线方程是，且过点，求的方程； （2）在（1）的条件下，如果，求的面积； （3）试问：是否为定值？如果是，请求出此定值；如果不是，请说明理由. 【举一反三】 1．（2019·河北高三月考（文））已如椭圆C：的两个焦点与其中一个顶点构成一个斜边长为4的等腰直角三角形. （1）求椭圆C的标准方程； （2）设动直线l交椭圆C于P，Q两点，直线OP，OQ的斜率分别为k，k＇.若，求证△OPQ的面积为定值，并求此定值. 题型二 定点 【例2】（2019·上海市进才中学高二月考）已知椭圆的左、右焦点为、. （1）求以为焦点，原点为顶点的抛物线方程； （2）若椭圆上点满足，求的纵坐标； （3）设，若椭圆上存在两个不同点、满足，证明：直线过定点，并求该定点的坐标. 【举一反三】 1．（2019·陕西西安中学高三月考（理））设为坐标原点，椭圆的焦距为，离心率为，直线与 交于，两点． （1）求椭圆的方程； （2）设点，，求证：直线过定点，并求出定点的坐标． 题型三 最值 【例3】（2019·浙江诸暨中学高二月考）如图，为椭圆的下顶点.过的直线交抛物线于，两点，是的中点. （1）求证：点的纵坐标是定值； （2）过点作与直线倾斜角互补的直线交椭圆于，两点.求的值，使得的面积最大. 【举一反三】 1．（2017·安徽铜陵一中高二期中（文））已知双曲线，是上的任意点. （1）求证：点到双曲线的两条渐近线的距离的乘积是一个常数； （2）设点的坐标为，求的最小值. 1．（2019·江西高三月考（理））已知椭圆的离心率，一个长轴顶点在直线上，若直线与椭圆交于，两点，为坐标原点，直线的斜率为，直线的斜率为. （1）求该椭圆的方程. （2）若，试问的面积是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由. 2．（2019·山东省烟台第一中学高三月考）已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，直线与椭圆C交于A，B两点，且． (1)求椭圆C的方程． (2)不经过点的直线被圆截得的弦长与椭圆C的长轴长相等，且直线与椭圆C交于D，E两点，试判断的周长是否为定值?若是，求出定值；若不是，请说明理由． 3．（2019·福建高考模拟（理））双曲线：的左右顶点分别为，，动直线垂直的实轴，且交于不同的两点，直线与直线的交点为. （1）求点的轨迹的方程； （2）过点作的两条互相垂直的弦，，证明：过两弦，中点的直线恒过定点. 4．（2019·辽宁高考模拟（理））已知离心率为2的双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为. （1）求双曲线的方程； （2）设分别为的左右顶点，为异于一点，直线与分别交轴于两点，求证：以线段为直径的圆经过两个定点. 5．已知动圆过点并且与圆相外切，动圆圆心的轨迹为. （1）求曲线的轨迹方程； （2）过点的直线与轨迹交于、两点，设直线，点，直线交于,求证：直线经过定点. 6．（2018·江西高三专题练习（文））已知动圆过点并且与圆相外切，动圆圆心的轨迹为. （Ⅰ）求曲线的轨迹方程； （Ⅱ）过点的直线与轨迹交于、两点，设直线，设点，直线交于,求证：直线经过定点. 7．（2018·陕西高二期中（理））已知双曲线的中心在原点，对称轴为坐标轴，一条渐近线方程为，右焦点，双曲线的实轴为，为双曲线上一点（不同于，），直线，分别与直线交于，两点． （）求双曲线的方程． （）证明为定值． 8．（2018·安徽师范大学附属中学高二期末（理））已知双曲线的中心在坐标原点，焦点在轴上，离心率，虚轴长为． （1）求双曲线的标准方程； （2）若直线与双曲线相交于两点（均异于左、右顶点），且以为直径的圆过双曲线的左顶点，求证：直线过定点，并求出定点的坐标． 9．（2014·天津高考模拟（理））已知椭圆C的两个焦点分别为，且点在椭圆C上，又. （1）求焦点F2的轨迹的方程； （2）若直线与曲线交于M、N两点，以MN为直径的圆经过原点，求实数b的取值范围. 10．（2012·四川高三月考（文））在平面直角坐标系中，已知的顶点、，为动点，且.记动点的轨迹为曲 (I) 求曲线的方程； (II)设是既不与平行也不与垂直的直线，且原点到直线的距离为，与曲线相交于不同的两点、，问的值是否为定值？若为定值，求出此定值；若不是，请说明理由. 11．（2012·广东高二月考（理））已知，， （1）求点的轨迹C的方程； （2）若直线与曲线C交于A、B两点，并且A、B在y轴的同一侧，求实数k的取值范围. （3）设曲线C与x轴的交点为M，若直线与曲线C交于A、B两点，是否存在实数k，使得以AB为直径的圆恰好过点