2014年普通高等学校招生全国统一考试（全国新课标Ⅰ卷）-【创新示范卷】2014年高考文科数学真题汇编

２３．解:(Ⅰ)曲线C２ 的直角坐标方程为x２＋y２－２y＝０, 曲线C３ 的直角坐标方程为x２＋y２－２ ３x＝０． 联立 x２＋y２－２y＝０, x２＋y２－２ ３x＝０,{ 解得 x＝０, y＝０,{ 或 x＝ ３２ , y＝３２． ì î í ï ï ïï 所以C２ 与C３ 交点的直角坐标为(０,０)和 ３２ ,３ ２ æ è ç ö ø ÷． (Ⅱ)曲线C１ 的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R,ρ≠０),其 中０≤α＜π． 因此 A 的 极 坐 标 为 (２sinα,α),B 的 极 坐 标 为 (２ ３cosα,α)． 所以|AB|＝|２sinα－２ ３cosα| ＝４|sin α－π３( )|． 当α＝５π６ 时,|AB|取得最大值,最大值为４． ２４．解:(Ⅰ)因为(a＋b)２＝a＋b＋２ab, (c＋ d)２＝c＋d＋２cd, 由题设a＋b＝c＋d,ab＞cd 得(a＋b)２＞(c＋ d)２． 因此 a＋b＞c＋ d． (Ⅱ)(ⅰ)若|a－b|＜|c－d|,则(a－b)２＜(c－d)２, 即(a＋b)２－４ab＜(c＋d)２－４cd． 因为a＋b＝c＋d,所以ab＞cd． 由(Ⅰ)得 a＋b＞c＋ d． (ⅱ)若 a＋b＞c＋ d,则(a＋b)２＞(c＋ d)２, 即a＋b＋２ab＞c＋d＋２cd． 因为a＋b＝c＋d,所以ab＞cd．于是 (a－b)２＝(a＋b)２－４ab＜(c＋d)２－４cd＝(c－d)２ 因此|a－b|＜|c－d|． 综上,a＋b＞c＋ d是|a－b|＜|c－d|的充要条件． ２０１４年 全国新课标Ⅰ卷 １．命题意图:本题主要考查了集合的表示法,集合的运 算等基础知识． 解析:借助数轴可得 M∩N＝(－１,１)． 答案:B ２．命题意图:本题主要考查了三角函数值的符号、二倍 角公式,可以特殊值排除法求解,考查了灵活运用三 角函数基础知识的能力． 解析:∵tanα＞０,∴α是第一或第三象限角, ∴sinα＞０和cosα＞０均不正确． 又∵sin２α＝２sinαcosα＝ ２sinαcosα sin２α＋cos２α ＝ ２tanα １＋tan２α ∴当tanα＞０时,sin２α＞０．正确,故选C． 答案:C ３．命题意图:本题主要考查了复数四则运算,复数的求 模公式,考查了复数运算的基本能力． 解析:∵z＝ １１＋i＋i＝ １－i ２ ＋i＝ １ ２＋ １ ２i , ∴|z|＝ １２( ) ２ ＋ １２( ) ２ ＝ ２２． 答案:B ４．命题意图:本题主要考查了双曲线的标准方程与几何 性质． 解析:由双曲线性质得c２＝a２＋b２＝a２＋３,由e＝ca ＝２知c２＝４a２,∴４a２＝a２＋３,解得a＝１． 答案:D ５．命题意图:本题主要考查了函数的奇偶性． 解析:∵f(－x)＝－f(x),g(－x)＝g(x)． ∴由f(－x)g(－x)＝－f(x)g(x),知f(x)g(x)是R 上的奇函数,A错． 由|f(－x)|g(x)＝|－f(x)|g(x)＝|f(x)|g(x), 知|f(x)|g(x)是偶函数,B错． 由f(－x)|g(－x)|＝－f(x)|g(x)|知f(x)|g(x)| 是奇函数,C正确． 由|f(x)g(x)|＝|－f(x)g(x)|＝|f(x)g(x)|知 |f(x)g(x)|是偶函数,D错． 答案:C ６．命题意图:本题主要考查了平面向量线性运算的三角 形法则,平行四边形法则,考查了化简向量式的恒等 变形能力． 解析:EB → ＋FC → ＝(AB → －AE →)＋(AC → －AF →) ＝ AB → －１２AC → ( )＋ AC → －１２AB → ( ) ＝１２ (AB → ＋AC →)＝AD → ． 答案:A ７．命题意图:本题主要考查了三角函数的图象和性质、 求最小正周期的周期公式． 解析:①y＝cos|２x|＝cos２x,其最小正周期T＝π． ②y＝|cosx|最小正周期T＝π． ③y＝cos２x＋π６( ) 的最小正周期T＝ ２π ω＝ ２π ２＝π． ④y＝tan ２x－π４( ) 的最小正周期T＝ π ω＝ π ２． 因此最小正周期为π的函数是①②③． 答案:A ８．命题意图:本题主要考查了空间几何体的结构特征和 三视图、直观图,考查了学生的识图和空间想象能力． 解析:由三视图可知该几何体是一个侧面放在水平面 上的直三棱柱． 答案:B ９．命题意图:本题主要考查了程序框图的识别和算法的应 用,考查了应用程序框图的各种功能解决问题的能力． 解析:n＝１时,n≤３成立,∴M＝１＋１２＝ ３ ２ ,a＝２,b＝ ３ ２ ; n＝２时,n≤３成立,∴M＝２＋２３＝ ８ ３ ,a＝３２ ,b＝８３ ; n＝３时,n≤３成立,∴M＝３２＋ ３ ８＝ １５ ８