2014年普通高等学校招生全国统一考试（全国新课标Ⅱ卷）-【创新示范卷】2014年高考文科数学真题汇编

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知 M 点的轨迹是以N(１,３)为圆心,２ 为半径的圆． ∵|OP|＝|OM|,∴O 在线段 MP 的垂直平分线上, 又点 P 在圆N 上,∴ON⊥PM, ∵kON ＝３,∴直线l的斜率k＝－ １ ３． 故直线l的方程为y＝－ １ ３x＋ ８ ３ ,即x＋３y－８＝０ ∵|OM|＝|OP|＝２ ２,O 到l 的距离d＝４ １０５ |PM|＝２ OP２－d２＝４ １０５ ∴S△POM ＝ １ ２|PM| 􀅰d＝１２× ４ １０ ５ × ４ １０ ５ ＝１６５． ２１．命题意图:本题主要考查了导数计算,导数的几何意 义,函数的导数与单调性,最值、不等式的关系,考查 了分类讨论思想,抽象概括能力,运算求解能力． 解析:(Ⅰ)f′(x)＝ a x ＋ (１－a)x－b 由题设知f′(１)＝１－b＝０,∴b＝１． (Ⅱ)f(x)的定义域为(０,＋∞), 由(Ⅰ)知f(x)＝alnx＋ １－a ２ x ２－x． ∴f′(x)＝ a x ＋ (１－a)x－１ ＝１－ax (x－１)x－ a１－a( ) (ⅰ)若a≤ １２ ,则 a １－a≤１ ,故当x＞１时,f′(x)＞０ ∴f(x)在(１,＋∞)上单调递增． ∴存在x０≥１使得f(x０)＜ a a－１ 的充分条件为f(１) ＜ aa－１ ,即１－a ２ －１＜ a a－１ ,解得－ ２－１＜a＜ ２－１． (ⅱ)若 １２＜a＜１ ,则 a １－a＞１ , ∴当x∈ １,a１－a( ) 时,f′(x)＜０, 当x∈ a１－a ,＋∞( ) 时f′(x)＞０． ∴f(x)在 １, a １－a( ) 上 单 调 递 减,在 a １－a ,＋∞( ) 上 单调递增, ∴存在x０≥１使f(x０)＜ a a－１ 的充要条件是 f a １－a( ) ＜ a a－１． 而 f a １－a( ) ＝aln a １－a＋ a２ ２(１－a) ＋ aa－１＞ a a－１ 不合题意． (ⅲ)若a＞１,则f(１)＝ １－a ２ －１＝ －a－１ ２ ＜ a a－１ 成立 综上可知a的取值范围是(－ ２－１,２－１)∪(１,＋∞)． ２２．略 ２３．命题意图:本题主要考查了椭圆的参数方程、直线的 参数方程化为 普 通 方 程．考 查 了 应 用 参 数 法 解 决 综 合问题的能力． 解析:(１)曲线C 的参数方程为 x＝２cosθ y＝３sinθ{ ,(θ为参数)． 直线l的普通方程为２x＋y－６＝０． (２)曲线C 上任意一点P(２cosθ,３sinθ)到直 线l的 距离为 d＝ ５５|４cosθ＋３sinθ－６|． ∴|PA|＝ dsin３０°＝ ２ ５ ５ |５sin (θ＋φ)－６|,其中φ 为 锐角,且tanφ＝ ４ ３． ∴当sin(θ＋φ)＝－１时,|PA|max＝ ２２ ５ ５ , 当sin(θ＋φ)＝１时,|PA|min＝ ２ ５ ５． ２４．命题意图:本题主要考查了不等式及其应用,考查了 转化化归思想和逻辑推理能力． 解析:(１)由 ab＝１a ＋ １ b ≥ ２ ab 得ab≥２, 当且仅当a＝b＝ ２时“＝”成立． ∴a３＋b３≥２ a３b３≥４ ２, 当且仅当a＝b＝ ２时“＝”成立． ∴a３＋b３ 的最小值是４ ２． (２)由(１)知,２a＋３b≥２ ６． ab≥２ ６􀅰 ２＝４ ３． ∵４ ３＞６,∴不存在a,b,使得２a＋３b＝６成立． 全国新课标Ⅱ卷 １．命题意图:本题主要考查了集合的基本运算,一元二 次方程的解法,考查了学生的基本运算能力． 解析:∵B＝{－１,２},A＝{－２,０,２},∴A∩B＝{２}． 答案:B ２．命题意图:本题主要考查了复数的四则运算,考查了 学生的基本运算能力． 解析:１＋３i １－i＝ (１＋３i)(１＋i) (１－i)(１＋i)＝ －２＋４i ２ ＝－１＋２i． 答案:B ３．命题意图:本题主要考查了函数极值存在的条件,充 分条件,考查了学生的逻辑推理能力． 解析:举反例:若f(x)＝x３,则f′(０)＝０,但f(x)在x ＝０处不取极值,因此,p 是q 的必要不充分条件． 答案:C ４．命题意图:本 题 主 要 考 查 了 向 量 的 模 与 数 量 积 的 运 算,考查学生的运算能力． 解析:∵|a＋b|＝ １０,|a－b|＝ ６ ∴a２＋２a􀅰b＋b２＝１０,　① a２－２a􀅰b＋b２＝６　② ∴两式相减得,４a􀅰b＝４,∴a􀅰b＝１． 答案:A 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 �