2017年普通高等学校招生全国统一考试（全国新课标Ⅲ卷）-【创新示范卷】2015-2019高考文科数学真题汇编

(２)设点 B 的极坐标为(ρB,α)(ρB＞０),由 题 设 知 |OA|＝２,ρB＝４cosα,于是△OAB 面积 S＝１２|OA| 􀅰ρB􀅰sin∠AOB ＝４cosα􀅰 sinα－π３( ) ＝２ sin ２α－π３( )－ ３ ２ ≤２＋ ３． 当α＝－π１２ 时,S取得最大值２＋ ３． 所以△OAB 面积的最大值为２＋ ３． ２３．解:(１)(a＋b)(a５＋b５)＝a６＋ab５＋a５b＋b６ ＝(a３＋b３)２－２a３b３＋ab(a４＋b４) ＝４＋ab(a２－b２)２≥４ (２)因为(a＋b)３＝a３＋３a２b＋３ab２＋b３ ＝２＋３ab(a＋b) ≤２＋３ (a＋b)２ ４ (a＋b) ＝２＋３ (a＋b)３ ４ , 所以(a＋b)３≤８,因此a＋b≤２． 全国新课标Ⅲ卷 １．B　由题意可得:A∩B＝{２,４},本题选择B选项． ２．C　由题意:z＝－１－２i,本题选择C选项． ３．A　由折线图,８~９月份月接待游客量减少,A 错误; 本题选择 A选项． ４．A　sin２α＝２sinαcosα＝ (sinα－cosα)２－１ －１ ＝－ ７ ９． 本题选择 A选项． ５．B　绘制不等式组表示的可行 域,结合目标函数的几 何 意 义 可得函数在点 A(０,３)处取得 最小值z＝０－３＝－３．在点B (２,０)处取得最大值z＝２－０＝ ２．本题选择B选项． ６．A　由诱导公式可得: cosx－π６( )＝cos π ２－ x＋ π ３( )[ ]＝sinx＋ π ３( ) 则:f(x)＝１５sinx＋ π ３( )＋sinx＋ π ３( )＝ ６ ５sinx＋ π ３( ),函数的最大值为 ６ ５． 本题选择A选项． ７．D　当x＝１时,f(１)＝１＋１＋sin１＝２＋sin１＞２,故 排除 A,C,当x→＋∞时,y→１＋x,故排除 B,满足条 件的只有 D,故选 D． ８．D　若N＝２,第一次进入循环,１≤２成立,S＝１００, M＝－１００１０＝－１０ ,t＝２≤２成立,第二次进入循环,此 时S＝１００－１０＝９０,M＝－－１０１０ ＝１ ,t＝３≤２不成立, 所以输出S＝９０＜９１成立,所以输入的正整数N 的最 小值是２,故选 D． ９．B　如图,画出圆柱的轴截面, AC＝１,AB＝１２ ,所以r＝BC＝ ３２ ,那 么圆柱的体积是V＝πr２h＝π× ３ ２ æ è ç ö ø ÷ ２ ×１＝３４π ,故选B． １０．C　根据三垂线逆定理,平面内的线垂直平面的斜 线,那么也垂直于斜线在平面内的射影,A．若A１E⊥ DC１,那么 D１E⊥DC１,很显然不成立;B．若 A１E⊥ BD,那么BD⊥AE,显然不成立;C．若A１E⊥BC１, 那么BC１⊥B１C,成立,反过来BC１⊥B１C时,也能推 出BC１⊥A１E,所以 C成立,D．若A１E⊥AC,则AE ⊥AC,显然不成立,故选C． １１．A　以线段A１A２ 为直径的圆是x２＋y２＝a２,直线 bx－ay＋２ab＝０与圆相切,所以圆心到直线的距离 d＝ ２ab a２＋b２ ＝a,整理为a２＝３b２,即a２＝３(a２－c２) ⇒２a２＝３c２,即c ２ a２ ＝２３ ,e＝ca ＝ ６ ３ ,故选 A． １２．C　令x２－２x＝－a(ex－１＋e－x＋１),设g(x)＝ex－１ ＋e－x＋１,g′(x)＝ex－１－e－x＋１＝ex－１－ １ex－１ ＝ e２(x－１)－１ ex－１ ,当g′(x)＝０时,x＝１,当x＜１时,g′(x) ＜０函数单调递减,当x＞１时,g′(x)＞０,函数单调 递增,当x＝１时,函数取得最小值g(１)＝２,设h(x) ＝x２－２x,当x＝１时,函数取得最小值－１,若－a＞ ０,函数h(x),和ag(x)没 有 交 点,当 －a＜０ 时, －ag(１)＝h(１)时,此时函数h(x)和ag(x)有一个交 点,即－a×２＝－１⇒a＝１２ ,故选C． １３．２　由题意可得:－２×３＋３m＝０,∴m＝２． １４．５　 由双曲线的标准方程可得 渐 近 线 方 程 为:y＝ ±３ax ,结合题意可得:a＝５． １５．７５°　 由 题 意: bsinB＝ c sinC ,即 sinB＝bsinCc ＝ ６× ３２ ３ ＝ ２ ２ ,结合b＜c可得B＝４５°,则A＝１８０°－B －C＝７５°． １６．－１４ ,＋∞( )　由题意得:当x＞１２时２ x＋２x－ １ ２ ＞１ 恒成立,即x＞１２ ;当０＜x≤１２ 时２x＋x－１２＋１＞１ 恒成立,即０＜x≤１２ ;当x≤０时x＋１＋x－１２＋１＞ １⇒x＞－１４ ,即－１４＜x≤０ ;综上x 的取值范围是 －１４ ,＋∞( )． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 �