2018年普通高等学校招生全国统一考试（全国新课标Ⅲ卷）-【创新示范卷】2015-2019高考文科数学真题汇编

２１．解:(１)当a＝３时,f(x)＝ １ ３x ３－３x２－３x－３, f′(x)＝x２－６x－３． 令f′(x)＝０解得x＝３－２ ３,或x＝３＋２ ３． ∴当x(－∞,３－２ ３)∪(３＋２ ３,＋∞)时,f′(x)＞０; 当x∈(３－２ ３,３＋２ ３)时,f′(x)＜０． 故f(x)在(－∞,３－２ ３),(３＋２ ３,＋∞)上单调递增． 在(３－２ ３,３＋２ ３)上单调递减． (２)由 于 x２ ＋x＋１＞０,所 以 f(x)＝０ 等 价 于 x３ x２＋x＋１ －３a＝０, 设 g (x ) ＝ x３ x２＋x＋１ － ３a, 则 g′ (x ) ＝ x２(x２＋２x＋３) (x２＋x＋１)２ ≥０, 仅当x＝０时,g′(x)＝０,所以g(x)在(－∞,＋∞)单 调递增,故g(x)至 多 有 一 个 零 点,从 而f(x)至 多 有 一个零点, 又f(３a－１)＝－６a２＋２a－ １ ３ ＝－６ (a－ １６ )２－ １６ ＜０, f(３a＋１)＝ １ ３＞０ ,故f(x)有一个零点, 综上,f(x)只有一个零点． ２２．解:(１)曲线C 的参数方程为 x＝２cosθ y＝４sinθ{ (θ为参数), ∴x ２ ４＋ y２ １６＝１． 直线l的参数方程为 x＝１＋tcosα y＝２＋tsinα{ (t为参数) ∴y－２x－１＝tanα (α≠９０°),即tanα􀅰x－y＋２－tanα ＝０, 当α＝９０°时,x＝１． 综上:l: tanα􀅰x－y＋２－tanα＝０(α≠９０°) x＝１(α＝９０°){ (２)当α＝９０°,点(１,２)不为中点,∴不成立． 当α≠９０°,把l代入曲线C 中得:４x２＋[tanα􀅰(x－ １)＋２]２＝１６, 化简得:(４＋tan２α)x２＋(４tanα－２tan２α)x＋tan２α－ ４tanα－１２＝０, ∵ 点 (１,２)为 弦 的 中 点,∴ x１ ＋ x２ ＝ ２,即 ２tan２α－４tanα ４＋tan２α ＝２, ∴tanα＝－２,∴直线l的斜率k＝－２． ２３．解:(１)当a＝１时,f(x)＝ ２x＋４,x≤－１ ２,－１＜x＜２ ６－２x,x≥２ { ． ∵f(x)≥０,∴ ２x＋４≥０ x≤－１{ 或 ２≥０ －１＜x＜２{ 或 ６－２x≥０ x≥２{ ． 解得－２≤x≤３,∴f(x)≥０的解集为x∈[－２,３]． (２)∵f(x)≤１,即|x＋a|＋|x－２|≥４, ∴|x＋a|＋|x－２|≥|a＋２|≥４． ∴a≥２或a≤－６． 全国新课标Ⅲ卷 １．C　A＝{x|x－１≥０}＝{x|x≥１},∴A∩B＝{１,２}． ２．D　(１＋i)(２－i)＝２－i＋２i＋１＝３＋i． ３．A　俯视图应为 A． ４．B　cos２α＝１－２sin２α＝１－２× １９＝ ７ ９． ５．B　设事件 A 为只用现金支 付,事 件 B 为 只 用 非 现 金 支付,则 P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＋P(AB),因 为 P(A)＝０．４５,P(AB)＝０．１５,P(A ∪B)＝０．４５＋ P(B)＋０．１５＝１,所以 P(B)＝０．４． ６．C　 由 已 知 得 f(x)＝ tanx １＋tan２x ＝ sinx cosx １＋ sinxcosx( ) ２ ＝ sinx cosx cos２x＋sin２x cos２x ＝sinx􀅰cosx＝ １２sin２x ,所 以 f(x) 的最小正周期为 T＝２π２＝π ,故选 C． ７．B　y＝lnx 过点(１,０),(１,０)关 于x＝１的 对 称 点 是 (１,０),而只有 B选项过此点,故选 B． ８．A　∵直线x＋y＋２＝０ 分 别 于 x 轴,y 轴 交 于A,B 两点,∴A(－２,０),B(０,－２),∴|AB|＝２ ２,∵点 P 在圆(x－２)２＋y２＝２上,∴圆心为(２,０),设圆心到直 线的距离为d,则 d＝|２＋０＋２| ２ ＝２ ２．故 点 P 到 直 线x＋y＋２＝０ 的 距 离 d′的 范 围 是 [２,３ ２],则 S△ABP ＝ １ ２|AB|d′∈ [２,６]． ９．D　由f(－x)＝f(x)知,f(x)为偶函数,当x＝１时, y＝－１＋１＋２＞０,排 除 A,B,令f(x)＝－x４＋x２＋ ２,f′(x)＝－４x３＋２x＝－２x(２x＋１)(２x－１)．当x ＞ π２ 时,f′(x)＜０,当 ０＜x＜ ２ ２ 时,f′(x)＞０∴y＝ f(x)在 ０,２２ æ è ç ] 上 是 增 函 数,在 ２２ ,＋∞ æ è ç ö ø ÷ 上 是 减 函 数．故选 D． １０．D　∵e＝ca ＝ １＋ b２ a２ ＝ ２． ∴ba ＝±１． ∴双曲线C 的渐近线方程为x±y＝０, ∴点(４,０)到C 的