2019年普通高等学校招生全国统一考试（全国新课标Ⅲ卷）-【创新示范卷】2015-2019高考文科数学真题汇编

２０．解:(１)连结PF１,由△POF２ 为等边三角形可知在 △F１PF２ 中,∠F１PF２＝９０°,|PF２|＝c,|PF１|＝ ３c,于 是２a＝|PF１|＋|PF２|＝(３＋１)c,故C 的离心率 e＝ca ＝ ３－１． (２)由题 意 可 知,满 足 条 件 的 点 P(x,y)存 在 当 且 仅当 １ ２|y| 􀅰２c＝１６,yx＋c 􀅰 y x－c＝－１ ,x ２ a２ ＋y ２ b２ ＝１,即 c|y|＝１６, ① x２＋y２＝c２, ② x２ a２ ＋y ２ b２ ＝１ ③ 由②③及a２＝b２＋c２ 得y２＝b ４ c２ ,又由①知y２＝１６ ２ c２ , 故b＝４． 由②③得x２＝a ２ c２ (c２－b２),所以c２≥b２,从而a２＝b２ ＋c２≥２b２＝３２,故a≥４ ２ 当b＝４,a≥４ ２时,存在满足条件的点P． 所以b＝４,a的取值范围为[４ ２,＋∞)． ２１．证明:(１)f(x)的定义域为(０,＋∞) f′(x)＝x－１x ＋lnx－１＝lnx－ １ x , 因为y＝lnx单调递增,y＝１x 单调递减,所以f′(x) 单调递增,又f′(１)＝－１＜０,f′(２)＝ln２－ １２＝ ln４－１ ２ ＞０ ,故 存 在 唯 一x０∈(１,２),使 得f′(x０) ＝０． 又当x＜x０ 时,f′(x)＜０,f(x)单调递减;当x＞x０ 时,f′(x)＞０,f(x)单调递增,因此,f(x)存在唯一的 极值点． (２)由(１)知f(x０)＜f(１)＝－２,又f(e２)＝e２－３＞０,所 以f(x)＝０在(x０,＋∞)内存在唯一根x＝a． 由α＞x０＞１得 １ a＜１＜x０． 又f １a( )＝ １ a－１( )ln １ a－ １ a－１＝ f(α) a ＝０ ,故１ a 是f(x)＝０在(０,x０)的唯一根． 综上,f(x)＝０有且仅有两个实根,且两个实根互为 倒数． ２２．解:(１)因为M(ρ０,θ０)在C上,当θ０＝ π ３ 时,ρ０＝４sin π ３ ＝２ ３． 由已知得|OP|＝|OA|cosπ３＝２． 设Q(ρ,θ)为l上除P 的任意一点,在 Rt△OPQ 中, ρcos θ－ π ３( )＝|OP|＝２． 经检验,点P ２,π３( ) 在曲线ρcos θ－ π ３( )＝２上． 所以,l的极坐标方程为ρcos θ－ π ３( )＝２． (２)设P(ρ,θ),在 Rt△OAP 中,|OP|＝|OA|cosθ＝ ４cosθ,即ρ＝４cosθ, 因为P 在线段OM 上,且AP⊥OM,故θ的取值范围 是 π ４ ,π ２[ ]． 所以,P 点 轨 迹 的 极 坐 标 方 程 为ρ＝４cosθ,θ ∈ π４ ,π ２[ ]． ２３．解:(１)当a＝１时,f(x)＝|x－１|x＋|x－２|(x－１)． 当x＜１时,f(x)＝－２(x－１)２＜０;当x≥１时, f(x)≥０． 所以,不等式f(x)＜０的解集为(－∞,１)． (２)因为f(a)＝０,所以a≥１, 当a≥１,x∈(－∞,１)时,f(x)＝(a－x)x＋(２－x) (x－a)＝２(a－x)(x－１)＜０． 所以,a的取值范围是[１,＋∞)． 全国新课标Ⅲ卷 １．A　本题考查了集合交集的求法,是基础题．由题意 得,B＝{x|－１≤x≤１},则 A∩B＝{－１,０,１}．故 选 A． ２．D　本题考查复数的商的运算,渗透了数学运算素养． 采取运 算 法 则 法,利 用 方 程 思 想 解 题．z＝ ２i１＋i＝ ２i(１－i) (１＋i)(１－i)＝１＋i． 故选 D． ３．D　本题考查常见背景中的古典概型,渗透了数学建 模和数学运算素养．采取等同法,利用等价转化的思 想解题．两位男同学和两位女同学排成一列,因为男 生和女生人数相等,两位女生相邻与不相邻的排法种 数相同,所以两位女生相邻与不相邻的概率均是 １ ２． 故选 D． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ５－高 ４．C　本题考查抽样数据的统计,渗透了数据处理和数 学运算素养．采取去重法,利用转化与化归思想解题． 由题意得,阅读过«西游记»的学生人数为９０－８０