2014年普通高等学校招生全国统一考试（全国新课标Ⅰ卷）-【创新示范卷】2014年高考理科数学真题汇编

四边形OAPB 为平行四边形当且仅当线段AB 与线 段OP 互相平分,即xP＝２xM． 于是 ±km ３ k２＋９ ＝２×k (k－３)m ３(k２＋９) ,解得k１＝４－ ７,k２＝ ４＋ ７． 因为ki＞０,ki≠３,i＝１,２,所以当l的斜率为４－ ７ 或４＋ ７时,四边形OAPB 为平行四边形． ２１．解:(Ⅰ)f′(x)＝m(emx－１)＋２x, 若m≥０,则当x∈(－∞,０)时,emx－１≤０,f′(x)＜０; 当x∈(０,＋∞)时,emx－１≥０,f′(x)＞０． 若m＜０,则当x∈(－∞,０)时,emx－１＞０,f′(x)＜０; 当x∈(０,＋∞)时,emx－１≥０,f′(x)＞０． 所以,f(x)在(－∞,０)单调递减,在(０,＋∞)单调 递增． (Ⅱ)由(Ⅰ)知,对任意的m,f(x)在[－１,０]单调递减, 在[０,１]单调递增,故f(x)在x＝０处取得最小值．所以 对于任意x１,x２∈[－１,１],|f(x１)－f(x２)|≤e－１的充 要条件是 f (１)－f(０)≤e－１, f(－１)－f(０)≤e－１,{ 即 em－m≤e－１, e－m＋m≤e－１．{ ① 设函数g(t)＝et－t－e＋１,则g′(t)＝et－１． 当t＜０时,g′(t)＜０;当t＞０时,g′(t)＞０．故g(t)在 (－∞,０)单调递减,在(０,＋∞)单调递增． 又g(１)＝０,g(－１)＝e－１＋２－e＜０,故当t∈[－１, １]时,g(t)≤０． 当m∈[－１,１]时,g(m)≤０,g(－m)≤０,即①式 成立; 当m＞１时,由g(t)的单调性,g(m)＞０,即em－m＞e－ １; 当m＜－１时,g(－m)＞０,即e－m＋m＞e－１． 综上,m 的取值范围是[－１,１]． ２２．略 ２３．解:(Ⅰ)曲线C２ 的直角坐标方程为x２＋y２－２y＝０, 曲线C３ 的直角坐标方程为x２＋y２－２ ３x＝０． 联立 x２＋y２－２y＝０, x２＋y２－２ ３x＝０,{ 解得 x＝０, y＝０,{ 或 x＝ ３２ , y＝３２． ì î í ï ï ïï 所以C２ 与C３ 交点的直角坐标为(０,０)和 ３２ ,３ ２ æ è ç ö ø ÷． (Ⅱ)曲线C１ 的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R,ρ≠０),其 中０≤α＜π． 因此A 的极坐标为(２sinα,α),B 的极坐标为 (２ ３cosα,α)． 当α＝５π６ 时,|AB|取得最大值,最大值为４． ２４．解:(Ⅰ)因为(a＋ b)２＝a＋b＋２ ab,(c＋ d)２ ＝c＋d＋２ cd, 由题设a＋b＝c＋d,ab＞cd 得　(a＋b)２＞(c＋ d)２． 因此 a＋b＞c＋ d． (Ⅱ)(ⅰ)若|a－b|＜|c－d|,则(a－b)２＜(c－d)２, 即(a＋b)２－４ab＜(c＋d)２－４cd． 因为a＋b＝c＋d,所以ab＞cd． 由(Ⅰ)得 a＋b＞c＋ d． (ⅱ)若 a＋b＞c＋ d,则(a＋b)２＞(c＋ d)２, 即a＋b＋２ ab＞c＋d＋２ cd． 因为a＋b＝c＋d,所以ab＞cd．于是 (a－b)２＝(a＋b)２－４ab＜(c＋d)２－４cd＝(c－d)２． 因此|a－b|＜|c－d|． 综上,a＋b＞c＋ d是|a－b|＜|c－d|的充要条件． ２０１４年 全国新课标Ⅰ卷 １．A　命题意图:本题主要考查了集合的运算和一元二 次不等式解法,考查了运算求解能力． ∵A＝{x|x２－２x－３≥０}＝(－∞,－１]∪[３,＋∞), B＝[－２,２)．∴A∩B＝[－２,－１]． ２．D　命题意图:本题主要考查了复数的运算． (１＋i)３ (１－i)２ ＝２i (１＋i) －２i ＝－１－i． ３．C　命题意图:本题主要考查了函数的奇偶性． ∵f(－x)＝－f(x),g(－x)＝g(x)． ∴由f(－x)g(－x)＝－f(x)g(x),知f(x)g(x)是R 上的奇函数,A错． 由|f(－x)|g(x)＝|－f(x)|g(x)＝|f(x)|g(x),知 |f(x)|g(x)是偶函数,B错． 由f(－x)|g(－x)|＝－f(x)|g(x)|知f(x)|g(x)| 是奇函数,C正确． 由|f(x)g(x)|＝|－f(x)g(x)|＝|f(x)g(x)|知 |f(x)g(x)|是偶函数,D错． ４．A　命题意图:本题主要考查了双曲线的标准方程与 几何性质,点到直线的距离公式． 双曲线C方程可化为x ２ ３m－ y２ ３＝１ (m＞０)． ∵a２＝３m,b２＝３, ∴c２＝３(m＋１)． c＝ ３(m＋１),右焦点F( ３(m＋１),０)． 又双曲线C的一条渐近线方程为y＝ １mx． 即x－ my＝０． ∴F 到该直线的距离d＝ ３(m＋１) m １＋１m ＝ ３． ５．D　命题