2016年普通高等学校招生全国统一考试（全国新课标Ⅲ卷）-【创新示范卷】2015-2019高考理科数学真题汇编

(３＋tk２)x２＋２ttk２x＋t２k２－３t＝０, 解得x＝－t或x＝－ttk ２－３t ３＋tk２ , 所以|AM|＝ １＋k２ －ttk ２－３t ３＋tk２ ＋t ＝ １＋k２􀅰 ６t ３＋tk２ , 所以|AN|＝ １＋k２􀅰 ６t ３k＋tk , 因为２|AM|＝|AN| 所以２􀅰 １＋k２􀅰 ６t ３＋tk２ ＝ １＋k２􀅰 ６t ３k＋tk , 整理得,t＝６k ２－３k k３－２ ． 因为椭圆E 的焦点在x 轴,所以t＞３, 即６k ２－３k k３－２ ＞３,整理得 (k２＋１)(k－２) k３－２ ＜０, 解得 ３ ２＜k＜２． ２１．解析:(Ⅰ)证明:∵f(x)＝x－２x＋２e x ∴f′(x)＝ex x－２ x＋２＋ ４ (x＋２)２[ ]＝ x２ex (x＋２)２ ． ∵当x∈(－∞,－２)∪(－２,＋∞)时,f′(x)＞０, ∴f(x)在(－∞,－２)和(－２,＋∞)上单调递增, ∴当x＞０时,x－２x＋２e x＞f(０)＝－１, ∴(x－２)ex＋x＋２＞０． (Ⅱ)g′(x)＝ (ex－a)x２－２x(ex－ax－a) x４ ＝x (xex－２ex＋ax＋２a) x４ ＝ (x＋２)x－２x＋２ 􀅰ex＋a( ) x３ a∈[０,１) 由(１)知,当x＞０时,f(x)＝x－２x＋２ 􀅰ex 的值域为 (－１,＋∞),只有一解． 使得t－２ t＋２ 􀅰et＝－a,t∈(０,２], 当x∈(０,t)时,g′(x)＜０,g(x)单调递减; 当x∈(t,＋∞)时,g′(x)＞０,g(x)单调递增; h(a)＝e t－a(t＋１) t２ ＝ et＋(t＋１)t－２t＋２ 􀅰et t２ ＝ e t t＋２． 记k(t)＝ e t t＋２ ,在t∈(０,２]时,k′(t)＝e t(t＋１) (t＋２)２ ＞０, ∴k(t)单调递增． ∴h(a)＝k(t)∈ １２ ,e ２ ４( ]． ２２．略 ２３．解析:(１)整理圆的方程得x２＋y２＋１２x＋１１＝０, 由 ρ２＝x２＋y２ ρcosθ＝x, ρsinθ＝y { 可知圆C 的极坐标方程为 ρ２＋１２ρcosθ＋１１＝０． (２)由题意可设直线的斜率为k,则直线的方程为kx －y＝０, 由垂径定理及点到直线距离公式知: |－６k| １＋k２ ＝ ２５－ １０ ２ æ è ç ö ø ÷ ２ , 即３６k ２ １＋k２ ＝９０４ ,整理得k２＝５３ ,则k＝± １５３ ． 所以直线的斜率为± １５３ ． ２４．解析:解:(１)当x＜－１２ 时,f(x)＝１２－x－x－ １ ２ ＝－２x,由f(x)＜２得－２x＜２,则x＞－１, 即－１＜x＜－１２ ; 当－１２≤x≤ １ ２ 时,f(x)＝１２－x＋x＋ １ ２＝１＜２ 恒 成立; 当x＞１２ 时,f(x)＝２x, 若f(x)＜２,１２＜x＜１． 综上可得,M＝{x|－１＜x＜１}． (２)当a,b∈(－１,１)时,有(a２－１)(b２－１)＞０, 即a２b２＋１＞a２＋b２, 则a２b２＋２ab＋１＞a２＋２ab＋b２, 则(ab＋１)２＞(a＋b)２, 即|a＋b|＜|ab＋１|． 全国新课标Ⅲ卷 １．D　由(x－２)(x－３)≥０解得x≥３或x≤２, 所以S＝{x|x≤２或x≥３},所以S∩T＝{x|０＜x≤２ 或x≥３},故选 D． ２．C　 ４izz－１＝ ４i (１＋２i)(１－２i)－１＝i ,故选C． ３．A　由题意,得cos∠ABC＝ BA →􀅰BC→ |BA→|􀅰|BC|→ ＝ １ ２× ３ ２＋ ３ ２× １ ２ １×１ ＝ ３ ２ ,所以∠ABC＝３０°,故选 A． ４．D　从题设中提供的信息及图中标注的数据可以看 出:深色的图案是一年十二个月中各月份的平均最低 气温,稍微浅一点颜色的图案是一年十二个月中各月 份的平均最高气温,故结合所提供的四个选择,可以 确定 D是不正确的,因为从图中可以看出:平均最高 气温高于２０℃只有７、８两个月份,故应选答案 D． ５．A　由tanα＝sinαcosα＝ ３ ４ ,cos２α＋sin２α＝１, 得 sinα＝３５ , cosα＝４５ ì î í ïï ïï 或 sinα＝－３５ , cosα＝－４５ , ì î í ïï ïï 所以cos２α＋２sin２α＝１６２５＋４× １２ ２５＝ ６４ ２５ ,故选 A． ６．A　因为a＝２ ４ ３ ＝１６ １ ３ ,b＝４ ２ ５ ＝１６ １ ５ ,c＝２５ １ ３ ,且幂函 数y＝x １ ３ 在 R上单调递增,指数函数y＝１６x 在 R上 单调递增,所以b＜a＜c,故选 A． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋