2018年普通高等学校招生全国统一考试（全国新课标Ⅲ卷）-【创新示范卷】2015-2019高考理科数学真题汇编

A(０,－２,０),B(２,０,０),C(０,２,０),P(０,０,２ ３)． 设BM → ＝λBC → ＝λ(－２,２,０),(０＜λ＜１), ∴M(２－２λ,２λ,０)． 平面PAC的一个法向量OB → ＝(２,０,０), 设平面PAM 的法向量为n＝(x,y,z) AM → ＝(２－２λ,２λ＋２,０),AP → ＝(０,２,２ ３) 由n􀅰AM → ＝０,n􀅰AP → ＝０ ∴ (２－２λ)x＋(２λ＋２)y＝０ ２y＋２ ３z＝０．{ ． 取z＝１,则y＝－ ３,x＝ ３ (１＋λ) １－λ ． n＝ ３(１＋λ) １－λ ,－ ３,１ æ è ç ö ø ÷, 设 二 面 角 M － AP － C 为 θ,则 cos θ ＝ ３(１＋λ) １－λ ３(１＋λ) １－λ[ ] ２ ＋３＋１ ＝ ３２ , 解得λ＝３或１３ ,∵０＜λ＜１,∴λ＝１３． ∴n＝(２ ３,－ ３,１),PC → ＝(０,２,－２ ３)． 设PC → 与平面PAM 所成角为α． 则sinα＝cos‹n,PC →›＝ |－２ ３－２ ３| １２＋３＋１􀅰 ４＋１２ ＝ ３４． ２１．解:(１)证明:当a＝１时,f′(x)＝ex－２x,令g(x)＝ ex－２x, 则g′(x)＝ex－２, 当x∈(０,ln２]时,g′(x)≤０,x∈(ln２,＋∞)时, g′(x)＞０, ∴g(x)在[０,ln２]上递减,在(ln２,＋∞)上递增． ∴g(x)≥g(ln２)＝２－２ln２＞０,∴f′(x)＞０ ∴f(x)在[０,＋∞)上递增,∴f(x)≥f(０)＝１． (２)设函数h(x)＝１－ax２e－x f(x)在(０,＋∞)只有一个零点当且仅当h(x)在(０, ＋∞)只有一个零点． (ⅰ)当a≤０时,h(x)＞０,h(x)没有零点; (ⅱ)当a＞０时,h′(x)＝ax(x－２)e－１ 当x∈(０,２)时,h′(x)＜０;当x∈(２,＋∞)时,h′(x) ＞０． 所以h(x)在(０,２)单调递减,在(２,＋∞)单调递增． 故h(２)＝１－４a e２ 是h(x)在(０,＋∞)的最小值． ①若h(２)＞０,即a＜e ２ ４ ,h(x)在(０,＋∞)没有零点; ②若h(２)＝０,即a＝e ２ ４ ,h(x)在(０,＋∞)只有一个 零点; ③若h(２)＜０,即a＞e ２ ４ ,由于h(０)＝１,所以h(x)在 (０,２)有一个零点． 由(１)知,当x＞０时,ex＞x２,所以 h(４a)＝１－１６a ３ e４a ＝１－１６a ３ (e２a)２ ＞１－１６a ３ (２a)４ ＝１－１a＞０． 故h(x)在(２,４a)有一个零点,因此h(x)在(０,＋∞) 有两个零点． 综上,f(x)在(０,＋∞)只有一个零点时,a＝e ２ ４ ２２．解:(１)曲线C的参数方程为 x＝２cosθ y＝４sinθ{ (θ为参数), ∴x ２ ４＋ y２ １６＝１． 直线l的参数方程为 x＝１＋tcosα y＝２＋tsinα{ (t为参数) ∴y－２x－１＝tanα (α≠９０°),即tanα􀅰x－y＋２－tanα ＝０, 当α＝９０°时,x＝１． 综上:l: tanα􀅰x－y＋２－tanα＝０(α≠９０°) x＝１(α＝９０°)．{ (２)当α＝９０°,点(１,２)不为中点,∴不成立． 当α≠９０°,把l代入曲线C 中得:４x２＋[tanα􀅰(x－ １)＋２]２＝１６, 化简得:(４＋tan２α)x２＋(４tanα－２tan２α)x＋tan２α－ ４tanα－１２＝０, ∵ 点 (１,２)为 弦 的 中 点,∴x１ ＋x２ ＝２,即 ２tan２α－４tanα ４＋tan２α ＝２, ∴tanα＝－２,∴直线l的斜率k＝－２． ２３．解:(１)当a＝１时,f(x)＝ ２x＋４,x≤－１ ２,－１＜x＜２ ６－２x,x≥２{ ． ∵f (x)≥ ０,∴ ２x＋４≥０ x≤－１{ 或 ２≥０ －１＜x＜２{ 或 ６－２x≥０ x≥２{ ． 解得－２≤x≤３,∴x∈[－２,３]． (２)∵f(x)≤１,即|x＋a|＋|x－２|≥４, ∴|x＋a|＋|x－２|≥|a＋２|≥４． ∴a≥２或a≤－６． 全国新课标Ⅲ卷 １．C　A＝{x|x－１≥０}＝{x|x≥１},∴A∩B＝{１,２}． ２．D　(１＋i)(２－i)＝２－i＋２i＋１＝３＋i． ３．A　俯视图应为 A． ４．B　cos２α＝１－２sin２α＝１－２×１９＝ ７ ９． ５．C　 x２＋２x( ) ５ 的第k＋１项为Tk＋１＝Ck５２kx１０－３k．令 １０－３k＝４,得k＝２．∴x４ 的系数为C２５×２２＝４０． ６．A　由已知A(－２,０),B(０,－２)．圆心(２,０)到直线x ＋y＋２＝０的距离为d＝|２＋０＋２|