2019年普通高等学校招生全国统一考试（全国新课标Ⅱ卷）-【创新示范卷】2015-2019高考理科数学真题汇编

∴f(x)只在 １ e－１ ,e－１[ ] 上存在零点． ∵f′(x)＝cosx－ １ １＋x ,令f′(x)＝０, 由(１)知,f′(０)＝０,f′ π ４( ) ＝ ２ ２－ １ １＋ π４ ＞０ f′ π ２( ) ＝－ １ １＋ π２ ＜０ ∴f′(x)存在唯一 m∈ π ４ ,π ２( ) ,使f′(m)＝０． ∴f(x)＝sinx－(１＋x)在x∈ π ４ ,π ２( ) 上有唯一零 点,又f(０)＝０． ∴f(x)有且仅有２个零点． ２１．解:(１)X 的可能取值为－１,０,１, 则 P(X＝－１)＝(１－α)􀅰β, P(X＝０)＝αβ＋(１－α)(１－β)＝２αβ＋１－α－β, P(X＝１)＝α(１－β), ∴X 的分布列为 X －１ ０ １ P (１－α)β ２αβ＋１－α－β α(１－β) (２)(ⅰ)∵α＝０．５,β＝０．８, ∴a＝０．５×０．８＝０．４, b＝０．８＋１－０．５－０．８＝０．５, c＝０．５×０．２＝０．１． ∴pi＝０．４pi－１＋０．５pi＋０．１pi＋１, ∴０．５pi＝０．４pi－１＋０．１pi＋１, ５pi＝４pi－１＋pi＋１, ∴pi＋１－pi＝４(pi－pi－１), ∴ pi＋１－pi pi－pi－１ ＝４． ∴{pi＋１－pi}为以４为公比的等比数列． (ⅱ)由(ⅰ)可得 p８＝p８－p７＋p７－p６＋􀆺＋p１－p０＋p０ ＝(p８－p７)＋(p７－p６)＋􀆺＋(p１－p０) ＝４ ８－１ ３ p１． 由于p８＝１,故p１＝ ３ ４８－１ ,所以 p４＝(p４－p３)＋(p３－p２)＋(p２－p１)＋(p１－p０) ＝４ ４－１ ３ p１ ＝ １２５７􀆰 p４ 表示最终认为甲药更有效的概率􀆰 由计算结果可 以看出,在甲药治愈率为０􀆰５,乙药治愈率为０􀆰８时, 认为甲药更有效的概率为p４＝ １ ２５７≈０􀆰００３９ ,此时得 出错误结论的概率非常小,说明这种试验方案合理􀆰 ２２．解:(１)曲线C 参数方程为 x＝１－t ２ １＋t２ 　① y＝ ４t １＋t２ 　② ì î í ïï ïï 由①２＋ ②２( ) ２ 得 x２＋ y２( ) ２ ＝１,又∵－１＜１－t ２ １＋t２ ≤１, ∴曲线C 的直角坐标方程为x２＋y ２ ４＝１ (x≠－１)． 由 x＝ρcosθ y＝ρsinθ{ ,得直线l的直角坐标方程为 ２x＋ ３y ＋１１＝０． (２)C 上 的 点 (cosθ,２sinθ)到 直 线l 的 距 离 d ＝ |２cosθ＋２ ３sinθ＋１１| ４＋３ ＝ ４sinθ＋ π６( ) ＋１１ ７ 当sinθ＋ π６( ) ＝－１时,dmin＝ ７． 即C 上的点到l 距离的最小值为 ７． ２３．证明:(１)欲证 １a ＋ １ b ＋ １ c ≤a ２＋b２＋c２． 需证abc a ＋ abc b ＋ abc c ≤a ２＋b２＋c２, 即证bc＋ac＋ab≤a２＋b２＋c２, ∵a２＋b２≥２ab, b２＋c２≥２bc, c２＋a２≥２ac． ∴a２＋b２＋c２≥bc＋ac＋ab(当 且 仅 当a＝b＝c时 取 等号)． ∴１a ＋ １ b ＋ １ c ≤a ２＋b２＋c２． (２)∵a,b,c为正数,且abc＝１． ∴a＋b≥２ ab＝２ １c ,b＋c≥２ bc＝２ １a , a＋c≥２ ac＝２ １b , 当且仅当a＝b＝c＝１时,取等号． ∴(a＋b)３≥８ １ c æ è ç ö ø ÷ ３ , (b＋c)３≥８ １ a æ è ç ö ø ÷ ３ , (a＋c)３≥８ １ b æ è ç ö ø ÷ ３ , 又 ∵ １ c æ è ç ö ø ÷ ３ ＋ １ a æ è ç ö ø ÷ ３ ＋ １ b æ è ç ö ø ÷ ３ ≥３ １a 􀅰 １ b 􀅰 １ c ＝３ １ abc＝３． ∴(a＋b)３＋(b＋c)３＋(a＋c)３≥８×３＝２４． 当且仅当a＝b＝c＝１时取等号． ∴(a＋b)３＋(b＋c)３＋(a＋c)３≥２４． 全国新课标Ⅱ卷 １．A　由x２－５x＋６＞０可 得:x＞３或x＜２,∴A∩B＝ (－∞,１)． ２．C　z＝－３－２i,对应的点为(－３,－２),在第三象限． ３．C　∵BC → ＝AC → －AB → ＝(３,t)－(２,３)＝(１,t－３), ∴|BC → |＝ １２＋(t－３)２＝１,∴t＝３,∴BC → ＝(１,０), ∴AB →􀅰BC→＝(２,３)􀅰(１,０)＝２． ４．D　由α＝rR ,r＝α􀅰R,由 M１ (R＋r)２ ＋ M２ r２ ＝(R＋r) M１ R３ , 得: M１ (R＋αR)２ ＋ M２ α２R２ ＝(R＋α􀅰R) M１ R３ ． 化简得:M１ ３α３＋３α