2019年普通高等学校招生全国统一考试（全国新课标Ⅲ卷）-【创新示范卷】2015-2019高考理科数学真题汇编

(２)因为 １x０ ＝e－lnx０,故点B －lnx０, １ x０( ) 在曲线y ＝ex 上． 由题设知f(x０)＝０,即lnx０＝ x０＋１ x０－１ ,故直线AB 的 斜率k＝ １ x０ －lnx０ －lnx０－x０ ＝ １ x０ － x０＋１ x０－１ － x０＋１ x０－１ －x０ ＝１x０ ． 曲线y＝ex 在 点B －lnx０, １ x０( ) 处 切 线 的 斜 率 是 １ x０ ,曲线y＝lnx在点A(x０,lnx０)处切线的斜率也 是１ x０ ,所以曲线y＝lnx在点A(x０,lnx０)处的切线 也是曲线y＝ex 的切线． ２１．解:(１)由题设得 yx＋２ 􀅰 y x－２＝－ １ ２ ,化简得x ２ ４＋ y２ ２ ＝１(|x|≠２),所以C 为中心在坐标原点,焦点在x 轴上的椭圆,不含左右顶点． (２)(ⅰ)设直线PQ的斜率为k,则其方程为y＝kx(k＞０) 由 y＝kx, x２ ４＋ y２ ２＝１{ 得x＝± ２ １＋２k２ ． 记u＝ ２ １＋２k２ ,则P(u,uk),Q(－u,－uk),E(u,０)． 于是直线QG 的斜率为k２ ,方程为y＝k２ (x－u)． 由 y＝k２ (x－u), x２ ４＋ y２ ２＝１ ì î í ïï ïï 得(２＋k２)x２－２uk２x＋k２u２－８＝０． ① 设G(xG,yG),则－u 和xG 是方程①的解,故xG＝ u(３k２＋２) ２＋k２ ,由此得yG＝ uk３ ２＋k２ ． 从而直线PG 的斜率为 uk３ ２＋k２ －uk u(３k２＋２) ２＋k２ －u ＝－１k． 所以PQ⊥PG,即△PQG 是直角三角形． (ⅱ)由 (ⅰ )得|PQ|＝２u １＋k２,|PG|＝ ２uk k２＋１ ２＋k２ ,所以△PQG 的面积S＝１２|PQ||PG| ＝ ８k (１＋k２) (１＋２k２)(２＋k２) ＝ ８ １k＋k( ) １＋２ １k＋k( ) ２． 设t＝k＋１k ,则由k＞０得t≥２,当且仅当k＝１时取等号． 因为S＝ ８t １＋２t２ 在[２,＋∞)单调递减,所以当t＝２, 即k＝１时,S取得最大值,最大值为１６９． 因此,△PQG 面积的最大值为１６９． ２２．解:(１)因为 M(ρ０,θ０)在C上,当θ０＝ π ３ 时,ρ０＝４sin π ３＝２ ３． 由已知得|OP|＝|OA|cosπ３＝２． 设Q(ρ,θ)为l上除P 的任意一点,在 Rt△OPQ 中, ρcos θ－ π ３( )＝|OP|＝２． 经检验,点P ２,π３( ) 在曲线ρcos θ－ π ３( )＝２上． 所以,l的极坐标方程为ρcos θ－ π ３( )＝２． (２)设P(ρ,θ),在 Rt△OAP 中,|OP|＝|OA|cosθ＝ ４cosθ,即ρ＝４cosθ, 因为P 在线段OM 上,且AP⊥OM,故θ的取值范围 是 π ４ ,π ２[ ]． 所以,P 点轨迹的极坐标方程为ρ＝４cosθ, θ∈ π４ ,π ２[ ]． ２３．解:(１)当a＝１时,f(x)＝|x－１|x＋|x－２|(x－１)． 当x＜１时,f(x)＝－２(x－１)２＜０;当x≥１时, f(x)≥０． 所以,不等式f(x)＜０的解集为(－∞,１)． (２)因为f(a)＝０,所以a≥１, 当a≥１,x∈(－∞,１)时,f(x)＝(a－x)x＋(２－x) (x－a)＝２(a－x)(x－１)＜０． 所以,a的取值范围是[１,＋∞)． 全国新课标Ⅲ卷 １．A　本题考查了集合交集的求法,是基础题．由题意 得,B＝{x|－１≤x≤１},则 A∩B＝{－１,０,１}．故 选 A． ２．D　本题考查复数的商的运算,渗透了数学运算素养． 采取运 算 法 则 法,利 用 方 程 思 想 解 题．z＝ ２i１＋i＝ ２i(１－i) (１＋i)(１－i)＝１＋i． 故选 D． ３．C　本题考查抽样数据的统计,渗透了数据处理和数 学运算素养．采取去重法,利用转化与化归思想解题． 由题意得,阅读过«西游记»的学生人数为９０－８０＋６０ ＝７０,则其与该校学生人数之比为７０÷１００＝０．７．故 选C． ４．A　本题主要考查二项式定理,利用展开式通项公式 求展开式指定项的系数．由题意得x３ 的系数为 C３４＋ ２C１４＝４＋８＝１２,故选 A． ５．C　应用等比数列前n项和公式解题时,要注意公比 是否等于１,防止出错．设正数的等比数列{an}的公比 为q,则 a１＋a１q＋a１q２＋a１q３＝１５, a１q４＝３a１q２＋４a１{ ,解 得 a１＝１, q＝２,{ , ∴a３＝a１q２＝４,故选C． ６．D　准确求导数是进一步计算的基础,本题易因为导 数的运算 法 则 掌 握 不 熟,二 导 致 计 算 错 误．求 导 要 “慢”,计