2019年11月12日 曲线与方程（2）-学易试题君之每日一题君2019-2020学年上学期高二数学（文）人教版（选修1-1）

11月12日 曲线与方程（2） 高考频度：★★☆☆☆ 难易程度：★★★★☆ 在中，已知，求直角顶点的轨迹方程． 【参考答案】． 【试题解析】以AB所在直线为x轴，AB的中点为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系， 则有，，设顶点． 方法1：由是直角三角形可知， 即， 化简得 依题意可知． 故所求直角顶点的轨迹方程为． 方法2：由是直角三角形可知， 所以， 则， 化简得直角顶点的轨迹方程为． 方法3：由是直角三角形可知，且点C与点B不重合， 所以， 化简得直角顶点的轨迹方程为． 【解题必备】（1）求曲线的方程，其实质就是根据题设条件，把几何关系通过“坐标”转化成代数关系，得到对应的方程．其一般步骤为：建系、设点、列式、化简、检验． （2）求曲线方程的常用方法： 方法1：直接法．根据题中的已知条件能直接建立所求曲线上的动点(x，y)的横纵坐标x，y满足的关系式，从而得到曲线方程．这是求曲线方程最基本的方法． 方法2：定义法．若能确定动点的轨迹满足某已知曲线的定义，则可由曲线的定义直接写出曲线方程． 方法3：代入法（即相关点法）．若动点P(x，y)依赖于另一个动点Q(x1，y1)的变化而变化，且已知动点Q(x1，y1)满足的条件或轨迹方程，则可用x，y表示x1，y1，并代入已知条件或轨迹方程，整理即得动点P的轨迹方程． （3）求曲线方程时应注意不要把范围扩大或缩小，也就是要检验轨迹的纯粹性和完备性．由于观察的角度不同，因此探求关系的方法也不同，解题时要善于从多角度思考问题．同时还应注意“轨迹”与“轨迹方程”的区别与联系． 1．已知点P(2，2)，圆C：，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点，求M的轨迹方程． 2．设圆的圆心为A，直线l过点B（1，0）且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E．证明为定值，并写出点的轨迹方程． 1．【答案】． 【解析】圆C的方程可化为， 所以圆心为C(0，4)，半径为4． 设M(x，y)，则，． 由题设知， 故，即． 由于点P在圆C的内部， 所以M的轨迹方程是． 2．【答案】证明见解析，点的轨迹方程为． 【解析】因为，，故， 所以，故． 又圆的标准方程为，从而， 所以． 由题设得，，， 设点的坐标为，所以， 化简可得点的轨迹方程为． 1 $$