2.2.2 第1课时　双曲线的简单几何性质（课件+作业）2019-2020学年高中数学选修1-1【优化探究】同步导学案（人教版）

2.2.2　双曲线的简单几何性质 第1课时　双曲线的简单几何性质 内　容　标　准 学　科　素　养 1.掌握双曲线的简单几何性质． 2.理解双曲线的渐近线及离心率的意义． 3.能用双曲线的简单几何性质解决一些简单问题. 运用直观想象 提升数学运算 发展逻辑推理 授课提示：对应学生用书第34页 [基础认识] 知识点　双曲线的几何性质[来源:Zxxk.Com] 椭圆的简单几何性质有哪些？研究方法是什么？双曲线是否有类似的性质呢？ 提示：范围、对称性、顶点、离心率． 研究方法是：通过方程来研究图形的几何性质．　　　 　知识梳理　(1)双曲线的几何性质 标准方程 ＝1(a>0，b>0)－ ＝1(a>0，b>0)－ 性 质 图形 焦点 F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c) 焦距 |F1F2|＝2c 范围 x≤－a或x≥a y∈R y≤－a或y≥a x∈R 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a) 轴 实轴：线段A1A2，长：2a；虚轴：线段B1B2，长：2b；实半轴长：a，虚半轴长：b 离心率 e＝∈(1，＋∞) 渐近线 y＝±x y＝±x (2)等轴双曲线是指实轴长与虚轴长相等的双曲线，其渐近线方程为y＝±x，离心率等于. [自我检测] 1．若点M(x0，y0)是双曲线＝1上支上的任意一点，则x0的取值范围是________，y0的取值范围是________． － 答案：(－∞，＋∞)　[2，＋∞) 2．双曲线4x2－2y2＝1的实轴长等于________，虚轴长等于________，焦距等于________． 答案：1　　 3．双曲线＝1的离心率为________． － 答案：2 授课提示：对应学生用书第35页 探究一　根据双曲线方程研究几何性质 　[阅读教材P51例3]求双曲线9y2－16x2＝144的半实轴长和半虚轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程． 题型：根据双曲线方程研究其几何性质． 方法步骤：①将方程化成标准方程的形式． ②写出a2，b2，从而求出a，b，c的值． ③求出双曲线的几何性质． [例1]　求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率、渐近线方程． [解析]　将9y2－4x2＝－36化为标准方程＝1， － 即. ＝1，∴a＝3，b＝2，c＝－ 因此顶点坐标为A1(－3,0)，A2(3,0)， 焦点坐标为F1(－，0)， ，0)，F2( 实轴长2a＝6，虚轴长2b＝4， 离心率e＝， ＝ 渐近线方程为y＝±x.x＝± 方法技巧　1.已知双曲线的方程研究其几何性质时，若不是标准方程，则应先化为标准方程，确定方程中a，b的对应值，利用c2＝a2＋b2得到c值，然后确定双曲线的焦点位置，从而写出它的几何性质． 2．求双曲线的渐近线方程时要特别注意焦点在x轴上还是在y轴上，以免写错． 跟踪探究　1.求双曲线25y2－4x2＋100＝0的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、顶点坐标、离心率、渐近线方程． 解析：双曲线的方程25y2－4x2＋100＝0可化为＝1，所以焦点在x轴上，所以a2＝25，b2＝4，因此实半轴长a＝5，虚半轴长b＝2，顶点坐标为(－5,0)，(5,0)． － 由c＝，0)． ，0)，(－，得焦点坐标为(＝ 离心率e＝x.，渐近线方程y＝±＝ 探究二　根据双曲线的几何性质求标准方程 　[阅读教材P51例4]双曲线型冷却塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面(图(1))，它的最小半径为12 m，上口半径为13 m，下口半径为25 m，高为55 m．试选择适当的坐标系，求出此双曲线的方程(精确到1 m)． 题型：根据双曲线的几何性质求其标准方程． 方法步骤：①根据双曲线的对称性，建立适当的坐标系． ②设出标准方程． ③求出方程中的a2，b2，进而求出c. [例2]　求满足下列条件的双曲线的方程： (1)已知双曲线的焦点在y轴上，实轴长与虚轴长之比为2∶3，且经过点P(，2)； (2)已知双曲线的焦点在x轴上，离心率为)；[来源:学.科.网]，且经过点M(－3,2 (3)若双曲线的渐近线方程为2x±3y＝0，且两顶点间的距离是6. [解析]　(1)设双曲线方程为＝1(a>0，b>0)． － ∵双曲线过点P(，2)， ∵＝1. － 由题意得 解得 故所求双曲线方程为＝1. － (2)设所求双曲线方程为＝1(a>0，b>0)． － ∵e＝， ∴e2＝， ＝＝1＋＝ ∴. ＝ 由题意得 解得 ∴所求的双曲线方程为＝1. － (3)设双曲线方程为4x2－9y2＝λ(λ≠0)，即＝1(λ