2.2.2 第2课时　双曲线的几何性质及应用（课件+作业）2019-2020学年高中数学选修1-1【优化探究】同步导学案（人教版）

第2课时　双曲线的几何性质及应用 内　容　标　准 学　科　素　养 1.掌握利用双曲线的定义解决有关问题的方法．[来源:Z_xx_k.Com] 2.理解直线与双曲线的位置关系及其判断方法. 利用直观想象 提高数学运算 及逻辑推理 授课提示：对应学生用书第37页 [基础认识] 知识点　直线与双曲线的位置关系 直线与圆(椭圆)有且只有一个公共点，则直线与圆(椭圆)相切，那么，直线与双曲线相切，能用这个方法判断吗？ 提示：不能． 设直线l：y＝kx＋m(m≠0)，① 双曲线C：＝1(a>0，b>0)，②－ 把①代入②得(b2－a2k2)x2－2a2mkx－a2m2－a2b2＝0. (1)当b2－a2k2＝0，即k＝±时，直线l与双曲线C的渐近线________，直线与双曲线________． 提示：平行　相交于一点 (2)当b2－a2k2≠0，即k≠±时，Δ＝(－2a2mk)2－4(b2－a2k2)(－a2m2－a2b2)． Δ>0⇒直线与双曲线____________，此时称直线与双曲线________；[来源:学科网] Δ＝0⇒直线与双曲线____________，此时称直线与双曲线________； Δ<0⇒直线与双曲线________，此时称直线与双曲线________． 提示：有两个公共点　相交　有一个公共点　相切　没有公共点　相离 (3)弦长公式：设交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝____________. 提示： 　　　 知识梳理　直线与双曲线的位置关系 (1)判定方法 直线：Ax＋By＋C＝0，双曲线：＝1(a>0，b>0)，两方程联立消去y，得mx2＋nx＋q＝0. － 位置关系 公共点个数 判定方法 相交 2个或1个 m＝0或 相切 1个 m≠0且Δ＝0 相离 0个 m≠0且Δ<0 (2)联立直线方程与双曲线方程，消元后得到的方程不一定是一元二次方程，也可能是一次方程，这时，直线一定与双曲线的渐近线平行． (3)直线与双曲线只有一个公共点时，直线不一定与双曲线相切，也可能相交，这时，直线一定与双曲线的渐近线平行． [自我检测] 1．已知双曲线的两个焦点为F1(－，0)，P是其上的一点，且PF1⊥PF2，|PF1|·|PF2|＝2，则该双曲线的方程是(　　) ，0)，F2( A.＝1 －＝1　　　　　　　 B.－ C.＝1 －y2＝1 D．x2－ 答案：C 2．过双曲线＝1的焦点且与x轴垂直的弦的长度为________． － 答案： 授课提示：对应学生用书第37页 探究一　直线与双曲线的位置关系 [例1]　已知双曲线x2－y2＝4，直线l：y＝k(x－1)，试确定满足下列条件的实数k的取值范围： (1)直线l与双曲线有两个不同的公共点； (2)直线l与双曲线有且只有一个公共点； (3)直线l与双曲线没有公共点． [解析]　联立消去y， 得(1－k2)x2＋2k2x－k2－4＝0.(*) 当1－k2≠0，即k≠±1时， Δ＝(2k2)2－4(1－k2)(－k2－4)＝4×(4－3k2)． (1)由 得－且k≠±1， <k< 此时方程(*)有两个不同的实数解， 即直线与双曲线有两个不同的公共点．[来源:学.科.网] (2)由， 得k＝± 此时方程(*)有两个相同的实数解， 即直线与双曲线有且只有一个公共点， 当1－k2＝0，即k＝±1时， 直线l与双曲线的渐近线平行， 方程(*)化为2x＝5， 故方程(*)只有一个实数解，即直线与双曲线相交，有且只有一个公共点． 故当k＝±或±1时， 直线与双曲线有且只有一个公共点． (3)由 得k<－， 或k> 此时方程(*)无实数解， 即直线与双曲线无公共点． 方法技巧　(1)解决直线与双曲线的公共点问题，不仅要考虑判别式，更要注意二次项系数为0时，直线与渐近线平行的特殊情况． (2)双曲线与直线只有一个公共点的题目，应分两种情况讨论：双曲线与直线相切或直线与双曲线的渐近线平行． (3)注意对直线l的斜率是否存在进行讨论． 跟踪探究　1.已知直线l：x＋y＝1与双曲线C：－y2＝1(a>0)． (1)若a＝，求l与C相交所得的弦长； (2)若l与C有两个不同的交点，求双曲线C的离心率e的取值范围． 解析：(1)当a＝消去y，得3x2＋2x－2＝0. 时，双曲线C的方程为4x2－y2＝1，联立 设两交点A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1＋x2＝－， ，x1x2＝－ 则|AB|＝ ＝ ＝. ＝×＝· (2)将y＝－x＋1代入双曲线－y2＝1， 得(1－a2)x2＋2a2x－2a2＝0， ∴ 解得0<a<且a≠1. ∵双曲线的离心率e＝， ＝ ∴e>. 且e≠ 即离心率e的取值范围是，＋∞)．∪( 探究二　弦的中点问