04 函数模型及其应用学习导航-2019年10月刊高一数学《中学生数理化》

中学生理化細用知织给与拓厚 丽数型及具应用学习导航 ■聂森林 函数模型及其应用是高中数学的重要 二、特别提示 内容,也是高考的常考点,同学们一定要理 求解函数应用问题时,一要弄清问题的 解和掌握几种常见的函数模型,学会应用实际背景,注意隐含条件;二要将文字语言恰 函数的模型解决实际问题 当准确地翻译为数学语言,用数学表达式加 要点梳理 以表示;三要弄清给出什么条件,解决什么问 1.几类函数模型及其增长差异 题,通过何种数学模型加以解决;四要严格按 1)几类函数模型:①反比例函数模型:照各种数学模型的要求进行推理运算,并对 运算结果作出实际解释。 f(x)=+b(k,b为常数且k≠0)。②二次 三、例题精析 函数模型:f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常 1森林砍伐问题 数,a≠0)。③指数函数模型:f(x)=ba+c 片森林原来面积为a,计划每年 (a,b,c为常数,b≠0,a>0且a≠1)。④对砍伐一些树木,且每年砍伐面积的百分比相 数函数模型:f(x)= blogx+c(a,b,c为常等,当砍伐到面积的一半时,所用时间是10 攸,b≠0,a>0且a≠1)。⑤幂函数模型:年,为保护生态环境,森林面积至少要保留原 f(x)=axn+b(a,b为常数,a≠0)。(2) 面积的,已知到今年为止,森林剩余面积为 种增长型函数之间增长速度的比较:①指数 函数y=(21)与幂函数y=x(m>0)在原来的之 区间(0,+∞)上,无论n比a大多少,尽管在 (1)求每年砍伐面积的百分比。 x的一定范围内a会小于x”,但由于y=a 的增长速度快于y=xn的增长速度,因而总 (2)到今年为止,该森林已砍伐了多少年 (3)今后最多还能砍伐多少年? 解:(1)设每年砍伐面积的百分比为 数函数y=logx(a>1)与幂函数y=x (n>0),不论a与n值的大小如何,对数函数(0<x<1),则a(1-x)=1a,即(1-x) y= logar(a>1)的增长速度总会慢于y=x 的增长速度,因而在定义域内总存在一个实 解得 故每年砍伐面积 的百分比为1 以看出,三种增长型函数尽管均为增函数,但 它们的增长速度不同,且不在同一个档次上, (2)设经过m年剩余面积为原来的 因此在(0,+∞)上,总会存在一个x。,当x> (1)审题:弄清题意,分清条件和结论,理10=2解得么,即/1) 则a(1 (2),可得 2.解函数应用问题的几个步骤 枚到今年为止,该森林 顺数量关系,初步选择数学模型。(2)建模 已砍伐了5年 将自然语言转化为数学语言,将文字语言 (3)设从今年开始,以后砍伐了n年,则 化为符号语言,利用数学知识,建立相应的数 学模型。(3)求模:求解数学模型,得出数学 年后剩余面积为。a(1-x)”。令a( 结论。(4)还原:将数学问题还原为实际问题 的意义 x)≥4a,即(1-x)”≥4,故 知识篇·知识结构与拓展 高一使用2019年10 中学生教理化 2),即10≤2,解得n≤15。故今后最多 投资A种商品金额(万元)1 还能砍伐15年 评析:在实际问题中,人口增长,银行禾 0.651.391.8521.841.4 率,细胞分裂等增长问题,都可以利用指数函投资B种商品金额(万元)123456 0.250.490.7611,261,51 数模型来表示。 2.蔬菜上的农药清洗问题 该经营者准备下月投入12万 例2用水清洗蔬菜上的残留农药, 两种产品,但不知投入A,B两种商品各多少 然用水越多洗掉的农药量越多,但总还有农万元才合算 药残留在蔬菜上。设用单位量的水清洗一 请你帮助制定一个资金投入方案,使得 次以后,蔬菜上残留的农药与本次清洗前残该经营者能获得最大利涧,并按照你的方案 留的农药量之比为函数f(x),可设f(x) 求出该经营者下月可获得的最大纯利润 现有a单位量的水,可以一次清洗, 解:以投资额为横坐标,纯利润为纵坐标 在平面直角坐标系中分别画出A,B两种商品 也可以把水平均分成2份后清洗两次,试问的散点图(图略)。观察散点图可以看出,A种 哪种方案清洗后蔬菜上残留的农药量比较商品所获纯利润y与投资额x之间的变化规 少。请说明理由。 律可以用二次函数模型进行模拟。取(4,2)为 解:a单位量的水,清洗一次,残留的农最高点,则y=a(x-4)2+2,把点(1,0.65)代 药量为W1=f(a)·f(0)= 其中 入此方程解得a≈-0.15,所以y=-0.15(x 4)2+2。B种商品所获纯利润y与投资额x f(0)=1表示没有用水清洗时,蔬菜上的农之间的变化规律可以用一次函数模型进行模 药量保持原样,设为1 拟。设y=kx+b,取点(1,0.25)和(4,1),代入 把a单位量的水均分成2份后清洗两 此方程解得 所以 次,残留的农药量为W2