专题12 导数在实际问题中的应用及综合应用-巅峰冲刺江苏省2020年高考数学一轮考点扫描（文理通用）

专题12 导数在实际问题中的应用及综合应用 【名师预测】 导数的实际应用和导数与方程、不等式的综合应用，是江苏高考中的热点、难点，题型是利用导数研究实际生活中的优化问题，利用导数研究函数性质、极值、最值，方程根的个数，函数零点，恒成立等诸多问题结合在一起考查，以及证明不等式，难度较大。在江苏高考中，对此部分的命题形式常出现在填空题的后两题及解答题的压轴题。 【知识精讲】 一、生活中的优化问题 生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题.导数是求函数最值问题的有力工具. 解决优化问题的基本思路是： 二、函数与导数综合问题的解题策略 1．函数性质综合问题的难点是函数单调性和极值、最值的分类讨论.其讨论策略有三个： （1）单调性讨论策略：单调性的讨论是以导数等于零的点为分界点，把函数定义域分段，在各段上讨论导数的符号，在不能确定导数等于零的相对位置时，还需要对导数等于零的点的位置关系进行讨论； （2）极值讨论策略：极值的讨论是以单调性的讨论为基础，根据函数的单调性确定函数的极值点； （3）最值讨论策略：图象连续的函数在闭区间上最值的讨论，是以函数在该区间上的极值和区间端点的函数值进行比较为标准进行的，在极值和区间端点函数值中最大的为最大值，最小的为最小值. 2．研究方程的根，可以通过构造函数的方法，把问题转化为研究构造的函数的零点问题，研究函数零点的策略： （1）如果函数在已知区间上是单调的，则其最多只有一个零点，再结合函数的零点存在性定理，确定其零点是否存在； （2）如果函数在已知区间上不是单调的，则求出这个函数的极值点和单调区间，再结合的极值与零的大小，以及函数的单调性、结合零点存在性定理判断其零点的个数. 3．利用导数证明不等式的策略 利用导数证明不等式的关键是构造函数，其思路： （1）对于（或可化为）左右两边结构相同的不等式，构造函数，使原不等式成为形如的形式； （2）对形如的不等式，构造函数； （3）对于（或可化为）的不等式，可选（或）为主元，构造函数（或）. 4．利用导数解决恒成立问题主要涉及方面及对策 （1）已知不等式在某一区间上恒成立，求参数的取值范围： ①一般先分离参数，再转化为求函数在给定区间上的最值问题求解； ②如果无法分类参数可以考虑对参数或自变量进行分类求解，如果是二次不等式恒成立的问题，可以考虑限制二次项系数或判别式的方法求解. （2）已知函数的单调性求参数的取值范围：转化为（或）恒成立的问题. 【典例精练】 考点一 用的导数解决实际生活中的优化问题 例1． 在一张足够大的纸板上截取一个面积为3 600 cm2的矩形纸板ABCD，然后在矩形纸板的四个角上切去边长相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的长方体纸盒(如图)．设小正方形边长为x cm，矩形纸板的两边AB，BC的长分别为a cm和b cm，其中a≥b. （1）当a＝90时，求纸盒侧面积的最大值； （2）试确定a，b，x的值，使得纸盒的体积最大，并求出最大值． 例2．如图，点为某沿海城市的高速公路出入口，直线为海岸线，，，是以为圆心，半径为的圆弧型小路.该市拟修建一条从通往海岸的观光专线，其中为上异于的一点，与平行，设. （1）证明：观光专线的总长度随的增大而减小； （2）已知新建道路的单位成本是翻新道路的单位成本的2倍.当取何值时，观光专线的修建总成本最低？请说明理由. 考点二 导数与函数的零点问题 例3．设函数f(x)＝ln x＋，m∈R.讨论函数g(x)＝f′(x)－零点的个数． 例4．已知函数f(x)＝aex－x－2a有两个零点，求实数a的取值范围． 考点三 导数与不等式的证明问题 例5．已知函数f(x)＝ln x＋. （1）求f(x)的最小值； （2）若方程f(x)＝a有两个根x1，x2(x1＜x2)，求证：x1＋x2＞2a. 考点四 利用导数研究探索性问题 例6． 已知函数f(x)＝，其中a为实数． （1）当a＝2时，求曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程； （2）是否存在实数a，使得对任意x∈(0,1)∪(1，＋∞)，f(x)＞恒成立？若不存在，请说明理由，若存在，求出a的值并加以证明． 考点五 新定义函数问题 例7． 若在公共定义域D上，f1(x)＜f(x)＜f2(x)，则称函数f(x)为函数f1(x)，f2(x)的“D函数”． （1）已知函数f1(x)＝x2＋2x＋4ln x，f2(x)＝x2＋2x＋2，求证：在区间(0，＋∞)上，f1(x)，f2(x)有“D函数”； （2）已知a∈R，函数f(x)＝ax2＋ln x，f1(x)＝(a－1)x2＋ax＋(1－a2)ln x，f2(x)＝x