专题19 恒成立与存在性问题-2020年江苏省高考数学考点探究

专题19 恒成立与存在性问题 专题知识梳理 恒成立问题 ①∀x∈D，均有f(x)>A恒成立，则f(x)min>A； ② ∀x∈D，均有f(x)﹤A恒成立，则 f(x)max<A ； ③∀x∈D，均有f(x) >g(x)恒成立，则F(x)= f(x)- g(x) >0，∴ F(x)min >0； ④∀x∈D，均有f(x)﹤g(x)恒成立，则F(x)= f(x)- g(x) <0，∴ F(x) max <0； ⑤∀x1∈D， ∀x2∈E，均有f(x1) >g(x2)恒成立，则f(x)min> g(x)max； ⑥∀x1∈D， ∀x2∈E，均有f(x1) <g(x2)恒成立，则f(x) max < g(x) min. 存在性问题 ①∃x0∈D，使得f(x0)>A成立，则f(x) max >A； ②∃x0∈D，使得f(x0)﹤A成立，则 f(x) min <A； ③∃x0∈D，使得f(x0) >g(x0)成立，设F(x)= f(x)- g(x)，∴ F(x) max >0； ④∃x0∈D，使得f(x0) <g(x0)成立，设F(x)= f(x)- g(x)，∴ F(x) min <0； ⑤∃x1∈D， ∃x2∈E， 使得f(x1) >g(x2)成立，则f(x) max > g(x) min； ⑥∃x1∈D， ∃x2∈E，均使得f(x1) <g(x2)成立，则f(x) min < g(x) max. 考点探究 【例1】（2018·徐州模拟）若关于x的不等式x3﹣3x2+ax+b＜0对任意的实数x∈[1，3]及任意的实数b∈[2，4]恒成立，则实数a的取值范围是　 　． 【例2】已知函数.设.若对任意,不等式恒成立，求实数的最大值； 【例3】已知，， (1)若存在，使得，求实数的取值范围； (2)若存在，使得，求实数的取值范围. 题组训练 1.已知函数，若，则实数的取值范围为_________________. 2.已知函数f(x)=,g(x)=,对任意的x1,x2∈(0,+∞),不等式≤恒成立,则正数k的取值范围是　　　　. 3.已知，若对于所有的恒成立，求实数的取值范围. 4.已知函数.若在区间上是减函数，且对任意的，总有，求实数的取值范围； 5.函数，若对任意的，总存在，使成立, 求实数的取值范围. 6.已知函数（为正常数）． (1)若在上单调递增，求的取值范围； (2)若不等式恒成立，求的取值范围. ( 3 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ $$ 专题19 恒成立与存在性问题 专题知识梳理 恒成立问题 ①∀x∈D，均有f(x)>A恒成立，则f(x)min>A； ② ∀x∈D，均有f(x)﹤A恒成立，则 f(x)max<A ； ③∀x∈D，均有f(x) >g(x)恒成立，则F(x)= f(x)- g(x) >0，∴ F(x)min >0； ④∀x∈D，均有f(x)﹤g(x)恒成立，则F(x)= f(x)- g(x) <0，∴ F(x) max <0； ⑤∀x1∈D， ∀x2∈E，均有f(x1) >g(x2)恒成立，则f(x)min> g(x)max； ⑥∀x1∈D， ∀x2∈E，均有f(x1) <g(x2)恒成立，则f(x) max < g(x) min. 存在性问题 ①∃x0∈D，使得f(x0)>A成立，则f(x) max >A； ②∃x0∈D，使得f(x0)﹤A成立，则 f(x) min <A； ③∃x0∈D，使得f(x0) >g(x0)成立，设F(x)= f(x)- g(x)，∴ F(x) max >0； ④∃x0∈D，使得f(x0) <g(x0)成立，设F(x)= f(x)- g(x)，∴ F(x) min <0； ⑤∃x1∈D， ∃x2∈E， 使得f(x1) >g(x2)成立，则f(x) max > g(x) min； ⑥∃x1∈D， ∃x2∈E，均使得f(x1) <g(x2)成立，则f(x) min < g(x) max. 考点探究 【例1】（2018·徐州模拟）若关于x的不等式x3﹣3x2+ax+b＜0对任意的实数x∈[1，3]及任意的实数b∈[2，4]恒成立，则实数a的取值范围是　 　． 【解析】关于x的不等式x3﹣3x2+ax+b＜0对任意的实数x∈[1，3] 及任意的实数b∈[2，4]恒成立， 可得x3﹣3x2+ax＜﹣b的最小值，即为x3﹣3x2+ax＜﹣4， 可得a＜3x﹣x2﹣的最小值， 设f（x）=3x﹣x2﹣，x∈[1，3]，导数为f′（x）=3﹣2x+， 可得1＜x＜2时，f′（x）＞0，f（x）递增； 2＜x＜3时，f′（x）＜0，f（x）递减，又f（1）=﹣2，f（3）=﹣， 可得f（x）在[1，3]的最小值为﹣2，可得a＜﹣2． 即有a的范围是（